P6659 神仙lcm题

题意

给定一个数字 $n$，询问下标最小的区间 $[l,r]$ 使得 $\operatorname{lcm}(l,l+1,\dots,r)=n$。

此处下标较小定义为$$ \begin{cases}r\lt r^{\prime},&l=l^{\prime}\\l \lt l^{\prime},& \text{otherwise.} \end{cases} $$$n \leq 10^{18},t \leq 10^4$。

Solution

考虑区间长度为 $1$ 的情况，若 $n$ 为奇数，则必然存在区间 $[\frac{n-1}{2},\frac{n-1}{2}+1]$ 小于区间 $[n,n]$ 使得要求成立。若 $n$ 为偶数，则必然存在区间 $[2,\frac{n}{2}]$ 小于区间 $[n,n]$ 使得要求成立。故答案区间长度不可能为 $1$。

考虑区间长度为 $2$ 的情况，显然地，$l$ 与 $r$ 即 $l+1$ 互质，故 $\operatorname{lcm}(l,r)=l\times(l+1)$ 。可以证明，对于 $n=k\times (k+1),k\in N$，答案区间必然为 $[k,k+1]$。显然地，对于 $n \leq 10^{18},k\leq \sqrt{10^{18}}$，且单调递增，可以二分来找到答案。

考虑区间长度大于等于 $3$ 的情况，发现对于极端数据 $n$ 为 $10^{18}$ 级别时，答案区间内的数不会超过 $10^6$ ，故对于 $10^6$ 以下的左端点暴力枚举以及右端点，并使用 map 维护答案。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(T \log n)$ 再加上预处理大概是 $\mathcal{O}(4 \times 10^6)$ 的巨大常数，可以通过本题。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline long long read()
{
    long long res=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while(!isalnum(ch)) (ch=='-')?flag=-1:1,ch=getchar();
    while(isalnum(ch)) res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*flag;
}
map<long long,pair<int,int> > ans;
long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void init()
{
    for(int l=1;l<=1500000;l++)
    {
        long long tmp=1ll*l*(l+1);
        for(long long r=l+2; ;r++)
        {
            tmp/=gcd(tmp,r);
            if(tmp>1e18/r)
                break;
            tmp*=r;
            if(ans.count(tmp)==false)
                ans[tmp]=make_pair(l,r);
        }
    }
    return ;
}
void solve(long long k)
{
    long long left=1,right=1e9;
    while(left<=right)
    {
        long long mid=(left+right)>>1;
        if(mid*(mid+1)==k)
        {
            ans[k]=make_pair(mid,mid+1);
            return ;
        }
        else if(mid*(mid+1)>k)
            right=mid-1;
        else if(mid*(mid+1)<k)
            left=mid+1;
    }
    return ;
}
int main(int argc,const char *argv[])
{
    init();
    int T=read();
    while(T--)
    {
        long long n=read();
        if(ans.count(n)==true)
        {
            printf("%d %d\n",ans[n].first,ans[n].second);
            continue;
        }
        solve(n);
        if(ans.count(n)==true)
        {
            printf("%d %d\n",ans[n].first,ans[n].second);
            continue;
        }
        printf("NIE\n");
    }
    return 0;
}

写在最后

三年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗。