2020牛客多校6 H - Harmony Pairs

题意：

定义 \(S(x)\) 函数表示 \(x\) 的数位和，给定一个 \(N\)，问有多少对 \((A,B) \in 0 \leq A \leq B \leq N\) 满足 \(S(A)>S(B)\)。

题解：

数位 dp, 设 \(dp[len][sum][limit1][limit2]\) 表示当前 dfs 到第 \(len\) 位，数 \(A\) 与数 \(B\) 的差值为 \(sum\)，数 \(B\) 的最高位限制状态为 \(limit1\)，数 \(A\) 的最高位限制状态为 \(limit2\)。

在 dfs 过程中，对于当前这一位用两个循环枚举数 \(B\) 与数 \(A\) 的取值，外层枚举 \(B\)，内层枚举 \(A\)。
第一层 \(B\) 的枚举上限 \(i\) 就是 最高位限制与否 的取值。
第二层上限 \(j\) 简单地考虑两种情况：
1.如果数 \(A\) 已经没有最高位限制就代表数 \(A\) 后面无论如何取都一定比数 \(B\) 小，所以上限设为 \(9\)。
2.如果有最高位限制，则 \(j\) 应该小于等于 \(i\)，这样就能保证 dfs 过程中数 \(A\) 永远小于等于 \(B\)。
其它的就是数位 dp 的模板部分了。
最后递归结束，判断一下 \(sum\) 是否大于 \(0\)即可。为了避免越界可以将判断的基准变为 \(1000\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
                
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define debug(x) cerr << #x << " is " << x << '\n';
       
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;
             
const int N = 2e5 + 5, M = 1e6, P = 1e9 + 7;
 
int len, dp[105][2005][2][2];
string s;
  
int dfs(int g, int sum, int lim1, int lim2) {
  if (!g) {
    if (sum > 1000) return 1;
    return 0;
  }
  if (~dp[g][sum][lim1][lim2]) return dp[g][sum][lim1][lim2];
  int up1 = lim1 ? s[g - 1] - '0' : 9;
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= up1; i++) {
    int up2 = lim2 ? i : 9;
    for (int j = 0; j <= up2; j++) {
      ans = (ans + dfs(g - 1, sum + j - i, lim1 && i == up1, lim2 && j == up2)) % P;
    }
  }
  return dp[g][sum][lim1][lim2] = ans;
}
 
int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  cin >> s;
  reverse(s.begin(), s.end());
  int len = s.length();
  memset(dp, -1, sizeof dp);
  cout << dfs(len, 1000, 1, 1) << '\n';
  return 0;
}