最长公共子序列lcs定义与求解算法

最长公共子序列（LCS）的定义

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是指在两个或多个序列中，找到一个最长的子序列，该子序列在所有输入序列中以相同的顺序出现，但不一定连续。

 

• 例如：序列 “ABCBDAB” 和 “BDCAB” 的 LCS 是 “BCAB”（长度为 4），子序列中的元素顺序与原序列一致，但位置不要求连续。

LCS 的求解算法（动态规划）

动态规划是求解 LCS 的高效方法，核心思路是通过构建二维表格存储子问题的解，避免重复计算。

步骤 1：定义状态

设两个序列为X[0..m-1]和Y[0..n-1]，定义dp[i][j]表示X[0..i-1]和Y[0..j-1]的 LCS 长度。

步骤 2：状态转移方程

• 若X[i-1] == Y[j-1]（当前元素相同），则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1（LCS 长度加 1）。
• 若X[i-1] != Y[j-1]（当前元素不同），则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])（取去掉 X 最后一个元素或 Y 最后一个元素后的 LCS 最大值）。

步骤 3：初始化

• dp[0][j] = 0（X 为空序列时，LCS 长度为 0）。
• dp[i][0] = 0（Y 为空序列时，LCS 长度为 0）。

步骤 4：回溯获取 LCS

通过填充后的dp表格，从dp[m][n]开始反向追溯：

 

• 若X[i-1] == Y[j-1]，则该元素是 LCS 的一部分，同时向左上方移动（i--, j--）。
• 否则，向dp[i-1][j]或dp[i][j-1]中值较大的方向移动（若相等，可任选其一）。

示例

以X = "ABCBDAB"（长度 7）和Y = "BDCAB"（长度 5）为例：

 

• 构建8x6的dp表格（包含 0 行 0 列），填充后dp[7][5] = 4，即 LCS 长度为 4。
• 回溯可得 LCS 为 “BCAB”（或 “BDAB”，因存在多个解）。

 

该算法时间复杂度为O(m*n)，空间复杂度为O(m*n)（可优化为O(min(m,n))）。