群论

群论概述

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群论是抽象代数的核心分支之一，是研究代数结构“群”的数学理论，它通过抽象化的方式，将具有对称性、变换规律的事物提炼为统一的数学模型，广泛应用于物理、化学、计算机科学、密码学等众多领域。

前置知识

慈祥的老奶奶
高一的数学与一点点的数论。

正文

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群的定义

数学定义

如果有一个集合 \(G\)，在集合上有一个二元运算（乘法） \(\cdot\) 满足一下性质：

1. 封闭性：\(\forall a,b\in G\ ,\ a\cdot b\in G\)；
2. 结合律：\(\forall a,b,c\in G\ ,\ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)；
3. 单位元：\(\exists e\in G\ ,\ \forall a\in G\ ,\ a\cdot e=e\cdot a=a\)，其中 \(e\) 被称为单位元或幺元；
4. 　逆元：\(\forall a\in G\ ,\ \exists b \in G\ , \ a\cdot b = b\cdot a = e\)，其中 \(b\) 被称为 \(a\) 的逆元，记作 \(b = a^{-1}\)；

则 \((G,\cdot)\) 称为一个群。（\(a\cdot b\) 在不引起歧义的情况下可以简记为 \(ab\)）

感性理解（举例子）

数学

\((\mathbb{Z}, +)\) 是一个群，封闭性与结合律显然，其中 \(0\) 是单位元，\(a\) 的逆元是 \(-a\)。

化学

\(G = \{\) \(,\) \(\}\)。

这里的乘法定义如下：

乘法

这里的乘法可以这样理解： 是原来的分子， 表示翻转后的分子。即 表示不对原来的分子进行操作， 表示对原来的分子进行翻转操作，其中翻转两次就相当于没有翻转。（理解成异或也不是不行）

封闭性与结合律由表可得，其中 是单位元，每一个的逆元都是它本身。

习题

请证明 \(([0,n-1]\cap \mathbb{Z}, +_n)\) 是一个群（\(a+_nb=(a+b)\bmod n\)）。

请证明 \((\{x\mid x\ \text{是对魔方的操作}\},\ \text{依次进行两次操作})\) 是一个群。

有用的结论

单位元唯一。

证明：设 \(e_1,e_2\) 都是单位元，则 \(e_1=e_1e_2=e_2\)。

逆元唯一。

证明：设 \(a^{-1}_1,a^{-1}_2\) 都是 \(a\) 的逆元，则 \(a^{-1}_1=a^{-1}_1e=a^{-1}_1aa^{-1}_2=ea^{-1}_2=a^{-1}_2\)。

\({a^{-1}}^{-1} = a\)

证明：\({a^{-1}}^{-1}={a^{-1}}^{-1}e={a^{-1}}^{-1}a^{-1}a=ea=a\)。

\(ac=bc\Leftrightarrow b=c\)

证明：\(ac=bc\Leftrightarrow acc^{-1}=bcc^{-1}\Leftrightarrow b=c\)。

常见的群

\(C_n\) 或称为 \(\mathbb{Z}_n\)，即 \(([0,n-1]\cap \mathbb{Z}, +_n)\)。

\(D_n\)，即 \((\{x\mid x \text{是对正} n \text{边形进行旋转或翻转的操作}\} ,\ \text{依次进行两次操作}))\)（一般用 \(r\) 表示顺时针旋转 \(\frac{\pi}{n}\)，\(f\) 表示旋转）。

\(S_n\)，即 \((\{x\mid x \text{是对} n \text{的排列的交换操作}\} ,\ \text{依次进行两次操作})\)。

群的表示方法

定义法

这种表示方法你已经见过了，比如 \(([0,n-1]\cap \mathbb{Z}, +_n)\) 等。

乘法表

这种表示方法你也已经见过了，比如在化学的例子中，我们列出的表。

凯莱图

凯莱图中的节点表示群中集合的元素，边表示元素之间的关系。一般来说无向边表示两边的点互为逆元，有向边表示出点可以通过与生成元相乘来得到入点。

举个例子，下图是 \(D_4\) 的凯莱图。

生成元