题解： P1962 斐波那契数列

前言

此题解给不会矩阵和想有易懂数学证明方法的人。

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题目链接

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题目简述

求斐波拉契数列第 \(n\) 项。

题目思路

首先根据斐波拉契数列的递推式：\(F_n = \left\{\begin{aligned} 1 \space (n \le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2} \space (n\ge 3) \end{aligned}\right.\)，很容易想到一个暴力代码，如下：

int n, a = 1, b = 1;
cin >> n;
for (int i = 3; i <= n; i ++ ) {
	int t = a;
	a = a + b;
	b = t;
}
cout << a << '\n';

时间复杂度 \(\Theta (n)\) 显然会 TLE。于是我们就要优化递推式。

结论：\(F_{n + m - 1} = F_n F_m + F_{n - 1} F_{m - 1} \space (n + m - 1 \ge 1)\)。
证明：

考虑一个数列 \(G\)，其第 \(n\) 项表示有 \(n\) 级台阶（每步只能上 \(1\) 级或 \(2\) 级）的方案数。显然 \(G_0 = G_1 = 1\)。第 \(n\) 级台阶只能从第 \(n - 1\) 级或第 \(n - 2\) 走来。根据加法原理可得 \(G_n = G_{n - 1} + G_{n - 2}\)。对比斐波拉契递推式可得 \(G_{n - 1} = F_n\)。考虑现在有 \(n + m\) 给台阶则走到最高的台阶的方案可以分成两类：

1. 先走上第 \(n\) 级台阶（方案数为 \(G_n\)）再走上第 \(n + m\) 级台阶（方案数为 \(G_m\)），根据乘法原理可得此类方案数为 \(G_n G_m\)。
2. 先走上第 \(n - 1\) 级台阶（方案数为 \(G_{n - 1}\)）再直接走上第 \(n + 2\) 级台阶（方案数为 \(1\)），最后走上第 \(n + m\) 级台阶（方案数为 \(G_{m - 1}\)），根据乘法原理可得此类方案数为 \(G_{n - 1} G_{m - 1}\)。
   根据加法原理可得 \(G_{n + m} = G_n G_m + G_{n - 1} G_{m - 1}\) 即 \(F_{n + m - 1} = F_n F_m + F_{n - 1} F_{m - 1} \space (n + m - 1 \ge 1)\)。

现在我们要计算 \(F_x\) 我们可以考虑把 \(x\) 拆分成 \(\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor + 1\) 和 \(x - \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor\)。根据公式，\(F_x = F_{\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor + 1} F_{x - \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor} + F_{\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor} F_{x - \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor - 1}\)。这样我们就可以递归求解，记忆化优化时间复杂度 \(\Theta (\log n)\)。

AC code

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
unordered_map<int, int> fie = {{1, 1}, {2, 1}};

int f(int x) {
	if (fie[x] != 0)  return fie[x];
	int m = x >> 1;
	return fie[x] = (f(m + 1) * f(x - m) % mod + f(m) * f(x - m - 1) % mod) % mod;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);	cin.tie(nullptr);
	cin >> n;
	cout << f(n) << '\n';
	return 0;
}