题解：SP6556 NDIVPHI - N DIV PHI_N
题意简述
输入 \(20\) 个不超过 \(10^{40}\) 的数 \(n\)，求最小的 \(m\) 使 \(\frac{m}{\phi(m)}\) 最大，其中 \(m \leq n\)。
题目思路
前言：什么欧拉函数
\(\phi(x)\) 表示小于 \(x\) 与 \(x\) 互质的非零自然数。
每一个非零自然数都可以写成几个质数相乘。如下：
\[x=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}
\]
其中 \(p\) 表示质数，\(c_i\) 表示质数 \(p_i\) 指数。
那么欧拉函数的计算公式为：
\[\phi(x)=x\cdot \prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})
\]
证明：
为了证明这个公式，我们可以考虑思考素数筛法工作的过程。在筛选过程中，我们会去掉所有质数的倍数。因为与一个数互质的数一定也与其质因子互质，对于每个质因子 \(p_i\)，我们去掉的比例是 \(\frac{1}{p_i}\)，因此保留的比例就是 \(1 - \frac{1}{p_i}\)。最终，所有素数的影响相乘，就得到了总的比例。
观察计算欧拉函数的式子，我们可以发现欧拉函数的值与每个质数的指数也就是 \(c_i\) 没有关系，所以答案的每一个 \(c_i\) 都为 \(1\)。
因为 \(p\) 为质数时 \(\phi(p)=p-1\) ，所以每一个质数对答案的反贡献为 \(p-1\)。而我们希望反贡献越小越好，所以我们应取最小的几个质数之积。又因为 \(\prod_{i=1}^{28}p_i\)（\(p_i\) 为质数）大于 \(10^{40}\)。所以我们可以先打前 \(28\) 个质数的升序表，然后求出最大的 \(x\)，使 \(x=\prod_{i=1}^{k}p_i\) 且 \(x\leq n\)，\(x\) 为答案。
下面放第一个AC的c++代码。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IFONLINEOJ false
#define IFONLUOGU false
namespace fast{
#if IFONLUOGU == false
#pragma GCC optimize("Ofast,unroll-loops,no-stack-protector")
#endif
#define il inline
#define re register
#define ri register int
#define ll long long
#if IFONLINEOJ
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define int long long
#endif
il void takefastout(){ios::sync_with_stdio(false);cout.tie(nullptr);}
il int read(){
ri x(0); re char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
while(c<='9'&&c>='0')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
return x;
}
#undef int
}//加速
struct BigInteger {
typedef unsigned long long LL;
static const int BASE = 100000000;
static const int WIDTH = 8;
vector<int> s;
BigInteger& clean(){while(!s.back()&&s.size()>1)s.pop_back(); return *this;}
BigInteger(LL num = 0) {*this = num;}
BigInteger(string s) {*this = s;}
BigInteger& operator = (long long num) {
s.clear();
do {
s.push_back(num % BASE);
num /= BASE;
} while (num > 0);
return *this;
}
BigInteger& operator = (const string& str) {
s.clear();
int x, len = (str.length() - 1) / WIDTH + 1;
for (int i = 0; i < len; i++) {
int end = str.length() - i*WIDTH;
int start = max(0, end - WIDTH);
sscanf(str.substr(start,end-start).c_str(), "%d", &x);
s.push_back(x);
}
return (*this).clean();
}
BigInteger operator + (const BigInteger& b) const {
BigInteger c; c.s.clear();
for (int i = 0, g = 0; ; i++) {
if (g == 0 && i >= s.size() && i >= b.s.size()) break;
int x = g;
if (i < s.size()) x += s[i];
if (i < b.s.size()) x += b.s[i];
c.s.push_back(x % BASE);
g = x / BASE;
}
return c;
}
BigInteger operator - (const BigInteger& b) const {
BigInteger c; c.s.clear();
for (int i = 0, g = 0; ; i++) {
if (g == 0 && i >= s.size() && i >= b.s.size()) break;
int x = s[i] + g;
if (i < b.s.size()) x -= b.s[i];
if (x < 0) {g = -1; x += BASE;} else g = 0;
c.s.push_back(x);
}
return c.clean();
}
BigInteger operator * (const BigInteger& b) const {
int i, j; LL g;
vector<LL> v(s.size()+b.s.size(), 0);
BigInteger c; c.s.clear();
for(i=0;i<s.size();i++) for(j=0;j<b.s.size();j++) v[i+j]+=LL(s[i])*b.s[j];
for (i = 0, g = 0; ; i++) {
if (g ==0 && i >= v.size()) break;
LL x = v[i] + g;
c.s.push_back(x % BASE);
g = x / BASE;
}
return c.clean();
}
BigInteger operator / (const BigInteger& b) const {
BigInteger c = *this;
BigInteger m;
for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--) {
m = m*BASE + s[i];
c.s[i] = bsearch(b, m);
m -= b*c.s[i];
}
return c.clean();
}
BigInteger operator % (const BigInteger& b) const {
BigInteger c = *this;
BigInteger m;
for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--) {
m = m*BASE + s[i];
c.s[i] = bsearch(b, m);
m -= b*c.s[i];
}
return m;
}
int bsearch(const BigInteger& b, const BigInteger& m) const{
int L = 0, R = BASE-1, x;
while (1) {
x = (L+R)>>1;
if (b*x<=m) {if (b*(x+1)>m) return x; else L = x;}
else R = x;
}
}
BigInteger& operator += (const BigInteger& b) {*this = *this + b; return *this;}
BigInteger& operator -= (const BigInteger& b) {*this = *this - b; return *this;}
BigInteger& operator *= (const BigInteger& b) {*this = *this * b; return *this;}
BigInteger& operator /= (const BigInteger& b) {*this = *this / b; return *this;}
BigInteger& operator %= (const BigInteger& b) {*this = *this % b; return *this;}
bool operator < (const BigInteger& b) const {
if (s.size() != b.s.size()) return s.size() < b.s.size();
for (int i = s.size()-1; i >= 0; i--)
if (s[i] != b.s[i]) return s[i] < b.s[i];
return false;
}
bool operator >(const BigInteger& b) const{return b < *this;}
bool operator<=(const BigInteger& b) const{return !(b < *this);}
bool operator>=(const BigInteger& b) const{return !(*this < b);}
bool operator!=(const BigInteger& b) const{return b < *this || *this < b;}
bool operator==(const BigInteger& b) const{return !(b < *this) && !(b > *this);}
};
ostream& operator << (ostream& out, const BigInteger& x) {
out << x.s.back();
for (int i = x.s.size()-2; i >= 0; i--) {
char buf[20];
sprintf(buf, "%08d", x.s[i]);
for (int j = 0; j < strlen(buf); j++) out << buf[j];
}
return out;
}
istream& operator >> (istream& in, BigInteger& x) {
string s;if(!(in>>s)) return in;
x = s;return in;
}//大数计算
const BigInteger prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107};
//质数表
int main(){
for(ri i=0;i<20;i++){
BigInteger n; cin>>n;
BigInteger ans=1ll; ri cnt=0;
while(ans<=n) ans*=prime[cnt++];//计算
cout<<ans/prime[cnt-1]<<'\n';
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号