2024暑假集训测试30

前言

比赛链接。

T1 普及了一下异或哈希，T2、T3 赛时应该算乱搞题，还搞挂了，T4 高级平衡树题，不太可做。

原题全部出自：2022牛客OI赛前集训营-提高组（第四场）。

T1 博弈

部分分 \(30pts\)：\(O(n^2)\) 暴力。

正解：

不难推出必胜策略就是 \((x,y)\) 路径上每个边权出现的次数不全为偶数，考虑如何维护这个玩意儿。

不难想到异或和，但可能存在不是全为偶数但异或和凑成 \(0\) 的情况导致出错。

于是用到异或哈希，每个权值映射到一个值域更大的数上再进行上述操作，从而出错的概率大大降低。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define ull unsigned long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=5e5+10,M=1e6+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int T,n,m,tot,head[N],nxt[M],to[M],cnt[N];
ull w[M],dis[N];
ll ans;
unordered_map<ull,int>pos;
unordered_map<int,ull>rd;
void add(int x,int y,ull z)
{
	nxt[++tot]=head[x];
	to[tot]=y;
	w[tot]=z;
	head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa)
{
	if(!pos[dis[x]]) pos[dis[x]]=++tot;
	cnt[pos[dis[x]]]++;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int y=to[i]; ull z=w[i];
		if(y==fa) continue;
		dis[y]=dis[x]^z;
		dfs(y,x);
	}
}
signed main()
{
	read(T); srand(time(0));
	while(T--)
	{
		read(n); ans=1ll*n*(n-1)/2;
		tot=0,pos.clear(),rd.clear();
		memset(head,0,4*(n+1)),memset(cnt,0,4*(n+1));
		for(int i=1,x,y,z;i<n;i++) 
		{
			read(x,y,z); 
			if(!rd[z]) rd[z]=1llu*rand()*rand()*rand()*rand();
			add(x,y,rd[z]),add(y,x,rd[z]);
		}
		tot=0; dfs(1,0); 
		for(int i=1;i<=tot;i++) if(cnt[i]>=2)
			ans-=1ll*cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
		write(ans),puts("");
	}
}

T2 跳跃

赛时赛后都有好多错解过去了，下面的错解赛后通过部分同学的努力全部 hack 掉了。

部分分：\(O(nk)\) 暴力模拟 DP，发现他跳个几百遍几千遍差不多就截住了？于是通过此题，卡的方式就是另 \(a_1=1\)，再来一串负数，之后随机，从而本来跳几万遍能过去的他被截住不跳就死了。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const ll inf=1e18;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int T,n,m,a[N],ml[N],mr[N];
ll ans,f[N];
signed main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		read(n,m); ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]+=a[i-1];
		int tmp=0; 
		for(int i=1;i<=n;i++) ml[i]=a[i]-tmp,tmp=min(tmp,a[i]);
		tmp=a[n];
		for(int i=n;i>=1;i--) mr[i]=tmp-a[i-1],tmp=max(tmp,a[i]);
		memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[1]=0;
		for(int j=1;j<=min(5000,m);j++)
		{
			ll maxx=-inf;
			if(j&1) for(int i=1;i<=n;i++) 
			{
				maxx=max(maxx,f[i]-a[i-1]);
				f[i]=maxx+a[i]>=0?maxx+a[i]:-inf;
				ans=max(ans,f[i]+max(0ll,1ll*(m-j)*ml[i]));
			}
			else for(int i=n;i>=1;i--)
			{
				maxx=max(maxx,f[i]+a[i]);
				f[i]=maxx-a[i-1]>=0?maxx-a[i-1]:-inf;
				ans=max(ans,f[i]+max(0ll,1ll*(m-j)*mr[i]));
			}
		}
		write(ans),puts("");
	}
}

部分分：各种乱搞，不解释了。

正解：

设 \(f_i\) 表示最少跳几步到达点 \(i\) 以及此时的权值，可以 \(O(n^2)\) 转移，最后答案就是让其永远在 \(i\) 这儿跳下去，枚举 \(i\) 即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1010;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int T,n,m,a[N],mx[N];
pair<int,ll>f[N];
ll ans;
signed main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		read(n,m); 
		ans=0,memset(f,0,sizeof(f));
		for(int i=1,tmp=0;i<=n;i++) 
		{
			read(a[i]),a[i]+=a[i-1];
			mx[i]=a[i]-tmp,tmp=min(tmp,a[i]);
			if(a[i]>0) f[i]=make_pair(m-1,a[i]);
		}
		for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i-1;j++)
		{
			int x=f[j].first; ll y=f[j].second;
			if(x<=0) continue;
			int cnt=max(1,(int)ceil(1.0*(a[j]-a[i]-y)/(2.0*mx[j])));
			y+=a[i]-a[j]+2ll*cnt*mx[j]; 
			cnt=y<0?5e8:cnt; 
			x-=2ll*cnt;
			auto tmp=make_pair(x,y);
			if(tmp>f[i]) f[i]=tmp;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
			int x=f[i].first; ll y=f[i].second;
			ans=max(ans,1ll*x*mx[i]+y);
		}
		write(ans),puts("");
	}
}

T3 大陆

原题：P2325 [SCOI2005] 王室联邦。

转化题面，一个省要么自身构成一个联通块，要么加上其省会刚好成为联通块。

那么自下而上处理，对于节点 \(x\)，将其所有儿子 \(y\) 的集合合并到 \(x\) 的集合中，一旦 \(x\) 中集合元素数量超过 \(B\) 就分出一个省，省会为 \(x\)，并将这些元素从集合中删除，这样处理完 \(x\) 后 \(x\) 的集合中会剩余部分元素留给 \(fa_x\)。

这样构造能够保证每个集合内元素数量一定小于 \(B\)，从而一个省的城市数量一定小于 \(2B\)，最后会剩下一些点凑不够一个 \(B\)，就将它全部归到最后一个组，因为前者数量小于 \(B\)，后者元素数量小于 \(2B\)，那么最后加起来一定小于 \(3B\)，是必定合法的构造方案。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1e4+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int n,m,tot,ans[N],id[N];
vector<int>e[N],s[N];
void check(int x)
{
	if(s[x].size()<m) return ;
	ans[++tot]=x;
	for(int pos:s[x]) id[pos]=tot;
	s[x].clear();
}
void merge(int x,int y)
{
	if(s[x].size()<s[y].size()) swap(s[x],s[y]);
	for(int pos:s[y]) s[x].push_back(pos); 
}
void dfs(int x,int fa)
{
	for(int y:e[x]) if(y!=fa) dfs(y,x),merge(x,y),check(x);
	s[x].push_back(x),check(x);
}
signed main()
{
	read(n,m);
	for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++)
		read(x,y),e[x].push_back(y),e[y].push_back(x);
	dfs(1,0); for(int i=1;i<=n;i++) if(!id[i]) id[i]=tot;
	write(tot),puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++) write(id[i]),putchar(' '); puts("");
	for(int i=1;i<=tot;i++) write(ans[i]),putchar(' ');
}

T4 排列

部分分 \(40pts\)：\(O(nq)\) 暴力。

正解是 fhq_treap 平衡树，但是不太可做，溜了溜了。

总结

T1 不应该没想到映射，更不应该死磕，T2 乱搞挂成 \(0\) 了不应该，T3 挺简单的赛时应该仔细想想。

附录

刚开始放的题有两道原题来自南昌起义，于是换题了。

T1' 前缀

原题：[ABC366D] Cuboid Sum Query。

三维前缀和板子，脑子都不需要动直接胡就行。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=110;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int n,m,sum[N][N][N];
signed main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1,a;k<=n;k++)
			{
				read(a);
				sum[i][j][k]=sum[i-1][j][k]+sum[i][j-1][k]+sum[i][j][k-1]-sum[i-1][j-1][k]-sum[i-1][j][k-1]-sum[i][j-1][k-1]+sum[i-1][j-1][k-1]+a;
			}
	read(m);
	for(int i=1,x1,x2,y1,y2,z1,z2;i<=m;i++)
	{
		read(x1,x2,y1,y2,z1,z2);
		x1--,y1--,z1--;
		write(sum[x2][y2][z2]-sum[x1][y2][z2]-sum[x2][y1][z2]-sum[x2][y2][z1]+sum[x1][y1][z2]+sum[x1][y2][z1]+sum[x2][y1][z1]-sum[x1][y1][z1]),puts("");
	}
}

T4' 序列

这里直说第二问，原题：CF1559E Mocha and Stars。

莫反，答案为：

\[\begin{aligned} &\sum\limits_{a_{1}=l_{1}}^{r_{1}}\sum\limits_{a_{2}=l_{2}}^{r_{2}} \dots \sum\limits_{a_{n}=l_{n}}^{r_{n}}[\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} \le m \land \gcd(a_{1},a_{2},a_{3}, \dots ,a_{n})=1] \\ &=\sum\limits_{d=1}^{m}\mu(d)\sum\limits_{a_{1}=l_{1}}^{r_{1}}[d|a_{1}]\sum\limits_{a_{2}=l_{2}}^{r_{2}}[d|a_{2}] \dots \sum\limits_{a_{n}=l_{n}}^{r_{n}}[d|a_{n}] \times [\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} \le m] \\ &=\sum\limits_{d=1}^{m}\mu(d)\sum\limits_{a_{1}=\left\lceil \frac{l_{1}}{d} \right\rceil}^{\left\lfloor \frac{r_{1}}{d} \right\rfloor}\sum\limits_{a_{2}=\left\lceil \frac{l_{2}}{d} \right\rceil}^{\left\lfloor \frac{r_{2}}{d} \right\rfloor}\dots \sum\limits_{a_{n}=\left\lceil \frac{l_{n}}{d} \right\rceil}^{\left\lfloor \frac{r_{n}}{d} \right\rfloor}[\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i} \le \left\lfloor \frac{m}{d} \right\rfloor] \end{aligned}\]

后半部分可以背包 DP 直接跑，考虑转移 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k=l_i}^{r_i}f_{i-1,j-k}\) 可以前缀和优化成 \(f_{i,j}=s_{i-1,j-l_i}-s_{i-1,j-r_i-1}\)，由此单次 DP 复杂度为 \(O(\dfrac{nm}{d})\)，由调和级数得最终复杂度为 \(O(nm\log m)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=55,M=1e5+10,P=998244353;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{
	x=0;register bool z=true;
	register char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;
	for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	x=(z?x:~x+1);
}
template<typename T,typename ...Tp> inline void read(T &x,Tp &...y){read(x);read(y...);}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
template<typename T,typename ...Tp> inline void write(T x,Tp ...y){write(x);putchar(' ');write(y...);}
int n,m,ans,tot,l[N],r[N],vl[N],vr[N],f[M],s[M],prime[M],mu[M];
bool vis[M];
int add(int x,int y) {ll res=x+y; return res>=P?res-P:res;}
void sieve(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
int ask(int x)
{
	memset(f,0,4*(m+1)),f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=x;j++)
		{
			s[j]=add(j==0?0:s[j-1],f[j]);
			f[j]=0;
		}
		for(int j=vl[i];j<=x;j++) 
			f[j]=add(s[j-vl[i]],P-(j-vr[i]-1>=0?s[j-vr[i]-1]:0));
	}
	int res=0;
	for(int i=0;i<=x;i++) res=add(res,f[i]);
	return res;
}
signed main()
{
	read(n,m);
	sieve(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(l[i],r[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) if(mu[i]!=0)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++) vl[j]=(l[j]+i-1)/i,vr[j]=r[j]/i;
		ans=add(add(ans,mu[i]*ask(m/i)),P);
	}
	write(ans);
}

posted @ 2024-08-21 21:39 卡布叻_周深阅读(50) 评论(0) 收藏举报

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卡布叻_周深

是一生一期，是一期一会

2024暑假集训测试30

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T1 博弈

T2 跳跃

T3 大陆

T4 排列

总结

附录

T1' 前缀

T4' 序列

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