题解：CF1975E Chain Queries

题意

给定一棵 \(n\) 个结点的树，第 \(i\) 个点有颜色 \(c_i\)，其中 \(c_i=0\) 为白色，\(c_i=1\) 为黑色。有 \(q\) 次询问，每次询问给定一个正整数 \(u\)，要求将结点 \(u\) 的颜色反转，并判断修改后的树上的所有黑点是否构成一条链。询问不独立。

思路

• 由于这是一棵树，一个点只有一个父亲，所以当我们修改某个点的颜色时，我们可以很容易的维护与该点父亲有关的信息，但我们如果挨个修改其儿子的信息则会超时，因此在接下来关于判断黑点是否构成链的条件时，我们应该判断那些容易维护的信息。

• 首先，如果树上的黑点构成一条链，那他们必须是联通的。观察可得，一个黑点的连通块中有且只有一个点的父亲（即该块中所有黑点的公共祖先）不是黑色。因此如果构成链，则树上只有一个黑点父亲不是黑点。

• 其次，如果构成链，则不能有黑点与 \(2\) 个或更多黑点相连。分两种情况讨论：一是父亲为黑点且拥有 \(2\) 个或更多黑色儿子，二是父亲不为黑点但拥有 \(3\) 个或更多黑色儿子。因此我们可以统计有 \(2\) 个黑色儿子的黑色点数量和有 \(3\) 个黑色儿子的黑色点数量，如果构成链，则前者不大于 \(1\)，若等于 \(1\) 则该点父亲必须不为黑色；后者等于 \(0\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAXN 400005
using namespace std;
int T,n,qq,cnt,head[MAXN],c[MAXN],a[MAXN],cnta,cntb,cntc,b[MAXN],fa[MAXN];
queue<int>q;
struct Edge{
	int value,next;
}edge[MAXN];
void addedge(int u,int v){
	edge[++cnt].value=v;
	edge[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dfs(int x,int father){
	fa[x]=father;
	if(c[x]==1)a[fa[x]]++;
	if(c[x]==1&&c[fa[x]]==0)cnta++;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
		int y=edge[i].value;
		if(y!=fa[x]){
			dfs(y,x);
		}
	}
	if(c[x]==1){
		if(a[x]==2){
			cntc++;
			b[x]=1;
			q.push(x);
		}else if(a[x]>2){
			cntb++;
		}
	}
}
signed main(){
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&qq);
		while(!q.empty())q.pop();
		cnt=cnta=cntb=cntc=0;
		//cnta表示父亲不是黑色的黑色点数量
		//cntb表示有3个或更多黑色儿子的黑色点数量
		//cntc表示有2个黑色儿子的黑色点数量 
		for(int i=1;i<=n*2;i++){
			edge[i]=(Edge){0,0};
			head[i]=c[i]=b[i]=a[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%lld",&c[i]);
		}
		for(int i=1;i<n;i++){
			int u,v;
			scanf("%lld%lld",&u,&v);
			addedge(u,v);
			addedge(v,u);
		}
		dfs(1,0);
		fa[n+1]=n+1;
		c[n+1]=0;
		for(int i=1;i<=qq;i++){
			int x;
			scanf("%lld",&x);
			if(c[x]==1){
				if(c[fa[x]]==0)cnta--;
				cnta+=a[x];
				if(a[x]>=3)cntb--;
				if(a[fa[x]]==3&&c[fa[x]]==1){
					cntb--;
					cntc++;
					b[fa[x]]=1;
					q.push(fa[x]);
				}
				if(a[x]==2){
					cntc--;
					b[x]=0;
				}
				if(a[fa[x]]==2&&c[fa[x]]==1){
					cntc--;
					b[fa[x]]=0;
				}
				c[x]=0;
				a[fa[x]]--;
			}else{
				if(c[fa[x]]==0)cnta++;
				cnta-=a[x];
				if(a[x]>=3)cntb++;
				if(a[fa[x]]==2&&c[fa[x]]==1){
					cntb++;
					cntc--;
					b[fa[x]]=0;
				}
				if(a[x]==2){
					cntc++;
					b[x]=1;
					q.push(x);
				}
				if(a[fa[x]]==1&&c[fa[x]]==1){
					cntc++;
					b[fa[x]]=1;
					q.push(fa[x]);
				}
				c[x]=1;
				a[fa[x]]++;
			}
			int tmp=n+1;
			if(!q.empty()){
				tmp=q.front();
				while(!b[tmp]){
					q.pop();
					if(q.empty())break;
					tmp=q.front();
				}
			}
			//若构成链，则cnta==1且cntb==0且cntc<=1且若cntc等于一，该点父亲不为黑色 
			if(cnta!=1||cntb>0||cntc>1||(cntc==1&&c[fa[tmp]]==1))printf("No\n");
			else printf("Yes\n");
		}
	}
	return 0;
}