Elimination Tree 学习笔记

首先 Elimination tree 是针对于“结构对称矩阵”才有的概念。“结构对称”指的是非零元素的位置对称。

首先，高斯消去过程的精髓在于：对于矩阵 \(\begin{bmatrix}u_{kk} & r^T\\c & B\end{bmatrix}\)，进行一次消去，操作是 \(B\leftarrow B-{1\over u_{k k}} c r^T\)。

对应到单个元素 \(A_{ij}\) 上，就是对于每个 \(k< \min(i,j)\)，要有 \(A_{i j}\leftarrow A_{ij}-L_{ik}R_{kj}\)。

对应到填入现象：从小到大看 \(k\)，若 \((k,i),(k,j)(k< \min(i,j))\) 边均存在，则添加上边 \((i,j)\)。

把问题静态化：最终的 \(L\) 矩阵中 \(L_{ji}\ne 0\)，当且仅当原图中 \(i,j\) 可以通过小于 \(\min(i,j)\) 的点互相连通。

我们想刻画一个点 \(i\) 能否到达一个点 \(j\)，其中 \(i<j\)。

事实上，我们只用考虑 \(i\) 能到达的比他大的最小的点 \(l\)，容易发现 \(i\) 能到的点，\(l\) 也一定能到（因为 \(l\) 可以先走到 \(i\) 再走到那个点）。

于是把 \(l\) 记作 \(i\) 的父亲，就形成了 elimination tree，若 \(i\) 能到达 \(j\)，那么由上可知从 \(i\) 一直跳父亲一定能到达 \(j\)。

我们现在想借助 elimination tree 找出所有能抵达的对子 \((i,j)\)。注意 \(j\) 是 \(i\) 的祖先不能推出 \(i\) 能到达 \(j\)。

事实上，枚举 \(i\) 找能到达的 \(j\) 比较困难。反过来看，我们枚举 \(j\)，看哪些 \(i\) 能到达 \(j\)。

考虑 \(j\) 旁边的所有比 \(j\) 小的点 \(l_1,l_2,\dots\)，那 \(i\) 要到 \(j\) 一定得经过某个 \(l_*\)，那么 \(i\) 到 \(l_*\) 存在一条中间点全部小于 \(i\) 的路径，这意味着 \(l_*\) 不断跳父亲，在到达 \(j\) 之前一定会经过 \(i\)！

于是对于 \(j\)，枚举旁边比 \(j\) 小的点 \(l_*\)，那么 etree 上所有 \(l_*\) 到 \(j\) 的路径并就是能到达 \(j\) 的点的集合！

至于 etree 本身的构建，其实它就是按点权的 kruskal 重构树，直接按 1 到 n 的顺序加点维护并查集就行了。