随笔分类 - 知识点
摘要：## 二元线性规划问题转网络流：对于 $n$ 个变量 $x_i$，限制形如 $x_i-x_j\ge b$ 或 $x_i\ge b$ 或 $x_i\le b$，求 $\sum c_ix_i$ 的最小值，可以转化成上下界最大费用流求解。 首先重温线性规划问题的一般形式（之一）： $$ \begin{al
阅读全文
摘要：线性基求交：设 \(A,B\) 为两个线性基，\(V_A,V_B\) 分别为其生成空间，则 \(V_C=V_A\cap V_B\) 是一个线性空间，称 \(A\) 与 \(B\) 两个线性基的交为 \(C\)。 首先证明 \(V_C\) 是一个线性空间。其实很显然，对于任意 \(x,y\in V_C
阅读全文
摘要：支配树：在 \(O(n\log n)\) 时间内求出一张有向图中能切断一个点到起点的所有路径的点 具体地，先定义一个起点 \(S\)（要求它能到达所有点），对于图中一个点 \(u\)，存在一些点 \(v\)，使得删去某个 \(v\) 后 \(S\) 无法走到 \(u\)，这些点 \(v\) 所组成的
阅读全文
摘要：反悔贪心：在确保能反悔以贴合全局最优解的前提下，选择局部最优解 （理论上来说，这种算法要建出费用流模型才能保证正确性，但是。。） 不好说，上例题： P7219 [JOISC2020] 星座 3 首先发现每个 $y$ 坐标小的点会对其上方的一个矩形形成限制，就是不能同时存在点。我们对每个点记录它被限制
阅读全文
摘要：拉格朗日乘子法：计算多变量函数最值 设要优化的函数为 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$，有限制 $g(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$。 凭空引入拉格朗日乘子 $\lambda$ ，令 $h(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)+\la
阅读全文
摘要：后缀自动机：可以接受一个字符串 $s$ 的所有子串的自动机 后缀树：将一个字符串的所有后缀编成一个**压缩**后的 Trie 后缀自动机性质： 1. 由不超过 $2n-1$ 个点构成（所以数组要开2倍） 2. 每个节点是个 endpos 集合，表示其中所有字符串在 $s$ 中结束的位置的集合 3.
阅读全文
摘要：线段树历史区间最值：支持区间加法，询问区间内历史上的最大值，清空历史 不要草率！！！比看上去的要难无数倍！！！ 注意事项： 1. 一定要记录两个标记 $tag$ 和 $mxtag$，分别为“区间加标记”和“区间最大加标记”（后者也可以理解为这个区间内所有来过的加标记的前缀最大值） 2. 正确的 pu
阅读全文
摘要：分治FFT：在 $O(n \log^2 n)$ 的时间内求出类似于 $f_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}g(i-j)f(j)$ 之类的递推式 思想：同 CDQ 分治的思想，先分成左半边和右半边，先处理左半边，然后计算左半边对右半边的影响，最后处理右半边。 注意事项： 1. 不是所
阅读全文
摘要：这里的小Min_25筛，可以筛出 $10^11$ 以内所有质数的完全积性函数之和 注意事项： 1. cmd 的题解里面下标写得不清楚，应该是 $S'(p_k-1,k-1)$ 而不是 $S'(p_{k-1},k-1)$，调了1hrswwwwww 2. 不需要预处理质数，通过 $res1[i]==res
阅读全文
摘要：势函数：对 $i=[1,n]$ 自定义 $f(i)$，使得每一步势能变化期望 +1/-1，通过求初态与终态的势能差求期望步数 注意：这里的 $f(i)$ 是可以自拟的，即只要满足每一步势能变化期望为 +1/-1 即可！ 所以说，这本质上是通过人类智慧定义这么一个函数！ 常见形式：$\sum\limi
阅读全文
摘要：KD-Tree，是用来维护一个空间（其实一般是平面）中的信息的数据结构。 以下就 2D-Tree 进行讨论。（盲猜并不会考 3D 及以上） 思想：将一个大矩形以一种方式划分成若干个小矩形，然后询问时只查询与询问矩形有交的小矩形。 每次轮流砍开 x 坐标和 y 坐标，分成左右点的个数相等的两半。 注意
阅读全文
摘要：一个矩阵的特征多项式，为 $det(A-Iz)$，这是一个关于 $z$ 的 $n$ 次多项式。 求的时候的注意点： 1. 消元形成上海森堡矩阵，即对于 $i=2,3,\dots,n,j \leq i-1,a[i][j]=0$。 形象一点： X X X X X X X X X X 0 X X X X
阅读全文
摘要：不用说了，直接上怎么 die（ 千万不要和 Treap 一样写左旋 zig 和右旋 zag，莫名死亡。Splay 只支持一个 rotate 上旋一个节点即可。 splay() 之前记得弄一个栈存储 u 到根的 splay 路径，倒序把 flip 标记全部推下来。 access() 中 u 在往上爬的
阅读全文
摘要：面对“$n$ 个数中选 $k$ 个数”之类的问题，脑子里第一个想到指数型生成函数。 重要技巧：进行一个游戏，进行的期望次数=Σ（进行 i 次还没有停止的概率）。 证明：阿贝尔变换即可。 于是就可以设 $P(i)$ 为进行 $i$ 次的概率，令 $F(z)=\sum\limits_{i \geq 0}
阅读全文
摘要：杜教筛：在 $O(n^{2/3})$ 的时间内求出积性函数 $f(x)$ 的前缀和。 注意事项： 1. 线性预处理 $n^{2/3}$ 内的所有 $f$ 的值再开始筛。 2. 一定要用一个数组（而不是 map）来记忆化，对于所有 $d$ 记忆 $n/d$ 处的 $f$ 前缀和。 3. 如果有多次询问
阅读全文
摘要：FFT Fast Foulier Transformation 以 $O(n \log n)$ 的速度计算 $\forall k=1,2,\dots,n, c[k]=\sum\limits_{i=0}^{k} a[i]b[k-i]$ **command_block 大神's blog** 记住，要
阅读全文
摘要：所谓长链剖分，就是给每个节点标记一个深度最深的长儿子。 长链剖分的优势：对于可以 $O(1)$ 从一个儿子继承所有所需信息的 dp，用长链剖分，更新时直接 $O(1)$ 继承长儿子的信息，其余儿子的信息暴力继承即可。 时间复杂度 $O(\sum\limits_{u} \sum\limits_{v \
阅读全文
摘要：特别适用于背包类问题，尤其是树上背包。 若出现 $f_{u,i}=\sum\limits_{v_1,v_2, \dots,v_{s} \in son(u)} \sum\limits_{j_1+j_2+ \dots +j_{s}=i} {f_{v_1,j_1}f_{v_2,j_2}\dots f_{v
阅读全文
摘要：李超树是一种可以动态插入直线并支持查询一个x坐标处最大值的数据结构。 实现时，注意不要判断两直线的交点与 $mid$ 的关系，而是要判断区间两端点处两直线 $y$ 坐标的关系。否则当交点为 $mid$ 时极易出错。
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号