算法第五章作业

回溯法求解最小重量机器设计问题

1. 用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 解空间

最小重量机器设计问题的解空间由所有可能的供应商选择组合构成。对于n个部件和m个供应商，每个部件都有m种选择，因此解空间的大小为mⁿ。每个解可以表示为一个n元组(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中xᵢ表示第i个部件所选择的供应商编号，取值范围为1到m。

1.2 解空间树

该问题的解空间树是一棵m叉树，树的深度为n（部件数量）。根节点位于第0层，表示初始状态，尚未选择任何部件的供应商。第i层节点对应第i个部件的供应商选择，每个节点有m个子节点，分别对应m个供应商的选择。叶子节点位于第n层，代表一个完整的解决方案。

1.3 结点的状态值

在遍历解空间树时，每个结点包含以下状态值：当前已选部件的总重量current_weight、当前已选部件的总价格current_cost、记录当前已选供应商的数组supplier[]，以及当前决策的部件层级i。这些状态值用于判断是否继续向下搜索和进行剪枝。

以下是完整的回溯法实现代码：

#include <stdio.h>

int n, m, d;
int c[30][30], w[30][30];
int current_weight, current_cost, min_weight;
int supplier[30], best_supplier[30];

void backtrack(int i) {
    if (i == n) {
        if (current_weight < min_weight) {
            min_weight = current_weight;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                best_supplier[k] = supplier[k];
            }
        }
        return;
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        if (current_cost + c[i][j] <= d) {
            if (current_weight + w[i][j] < min_weight) {
                current_cost += c[i][j];
                current_weight += w[i][j];
                supplier[i] = j;
                backtrack(i + 1);
                current_cost -= c[i][j];
                current_weight -= w[i][j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &d);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            scanf("%d", &c[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            scanf("%d", &w[i][j]);
        }
    }
    current_weight = 0;
    current_cost = 0;
    min_weight = 99999;
    backtrack(0);
    printf("%d\n", min_weight);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i == 0) {
            printf("%d", best_supplier[i] + 1);
        } else {
            printf(" %d", best_supplier[i] + 1);
        }
    }
    printf(" ");
    return 0;
}

2. 对回溯算法的理解

回溯算法是一种通过深度优先搜索遍历解空间树的系统搜索方法。其核心思想是“尝试与回退”，当探索到某一步发现当前选择不可能达到目标时，就撤销上一步的选择，转而尝试其他可能性。

回溯法的优势在于能够系统地搜索整个解空间，确保找到最优解。通过约束函数（检查价格是否超限）和限界函数（检查重量是否可能更优）进行剪枝，可以显著减少搜索空间。

然而，回溯法的时间复杂度通常较高，在最坏情况下可能需要遍历整个解空间。因此，设计有效的剪枝策略对于提高算法效率至关重要。