快速幂 快速乘

• 快速幂
  一个整数可以被拆分成若干个2的幂的和. 对于幂运算中的\(a^b\),我们也可以将b进行二进制拆分.
  当求解\(a^b\)的时候,如果b是奇数,则拆成\(a\ast a^{b-1}\)
  当b为偶数，则拆成\(a^{b/2}\ast a^{b/2}\)
  使用倍增法可以将其从\(O(b)\)优化到\(O(logb)\)

  int poww(int a,int b){
      int ans = 1,base = a;
      while(b>0){
            if(b&1)
                  ans *= base;
            base *= base;
            base>>=1;
      }
      return ans;
  }    
  

  快速幂取模
  根据同余定理，我们可以得知 \((a\ast b)\%m = ((a\%m)\ast (b\%m))\%m\)
  通过这个可以推出
  \((a^b)\%m = (a\%m)^b\%m\)

  int poww(int a,int b){
      int ans = 1,base = a;
      while(b>0){
            if(b&1)
                  ans = (1LL*ans*base)%m;
            base = (1LL*base*base)%m;
            b>>=1;
      }
      return ans;
  }   
  

• 快速乘
  \(O(log)\) 快速乘
  仿照快速幂的方式。把乘法换成加法。

  ll ksc(ll a, ll b, ll m){
      ll res = 0;
      while(b){
            if(b&1) res = (res + a)%m;
            a = (a<<1)%p; b >>= 1;
      }
      return res;
  }
  

  \(O(1)\)快速乘

  ll ksc(ll a,ll b,ll m){
      ll z = (ld)a/m*b;
      ll res = (ull)a*b - (ull)z*m;
      return (res+m)%m;
  }
  

  利用ull 溢出后从0开始，且两个溢出的数差值不变来计算取模后的值（余数）。