Miller-Rabin算法

前置知识

• 费马小定理
  若\(p\)为素数, \(a\)为正整数,且\(gcd(a,p) = 1\),则\(a^{p-1}\equiv 1(mod p)\).

  • 证明：首先证明三个小性质
    因为\(p\)为素数，所以\(gcd(i,p)=1,1\le i \le p-1,i为整数\), 则可推出:

    \[gcd((p-1)!,p)=1 \]

    又因为\(gcd(a,p)=1\), 所以 $$gcd(i \ast a,p)=1,1\le i\le p-1$$
    设 \(a = b*q+r，1\le r< p\),则\(gcd(i*r,p)=1\).
    假设存在两个不同的\(i\),\(c和d\),满足\(c*r\equiv d*r(\mod p) (c< d)\)
    那么\((d-c)*r\equiv 0(\mod p)\) ,即 \(p|(d-c)*r\).
    又因为\(1\le d-c < p\), 这与\(gcd(i*r,p)=1\)矛盾.
    所以\(i*r,1\le i\le p-1\)没有任何两个不同的i使得这两个数模\(p\)同余。
    所以 $$ i\ast a不存在两个不同的i使得这两个数能在模p的意义下同余$$

    接下来我们就可以证明费马小定理了。
    我们从上面的推断可以得出，\(\prod_{i=1}^{p-1} i\ast a \equiv \prod_{i=1}^{p-1} i (\mod p)\)

    即 $$ (p-1)! \ast a^{p-1} \equiv (p-1)! (\mod p) $$
    即 $$ a^{p-1} \equiv 1 (\mod p)$$

• 二次探测定理
  若\(p\)为奇素数且\(x^2 \equiv 1(\mod p)\), 则\(x\equiv 1(\mod p)\)或\(x \equiv p-1(\mod p)\).
  证明：\(x^2 \equiv 1(\mod p)\)
  则 \((x-1)(x+1) \equiv 0(\mod p)\)
  则 \(x_1 = q_1*p+1,x_2 = q_2*p-1,q_1,q_2为整数\), 显然符合\(x\equiv 1(\mod p)\)或\(x \equiv p-1(\mod p)\)。

  对于要验证的数\(p\), 我们可以选择一些正整数\(a\),使用费马小定理来测试,若有一个\(a\)不符合那\(p\)就不是素数.
  但是这只是必要非充分条件,实际上存在一种强伪素数\(p\),符合:
  $$ \forall a<p, a^{p-1}\equiv 1( \mod p) $$
  啊 这。 所以不能用费马小定理直接判断素数。
  所以我们需要第二次探测。
  首先对p使用费马小定理进行判断，若不符合直接判合数。
  若\(2|p-1\), 则我们需要判断是否符合\((x^{{p-1}/2})^2\)模\(p\)为1或\(p-1\).
  若\((x^{{(p-1)}/2})^2\)模\(p\)值既不是1也不是\(p-1\)，则\(p\)是合数.返回false。
  若是1，则继续递归。\(k=（p-1) \rightarrow k>>=1 \rightarrow ... ；\) 直到k为奇数。返回true.
  若是\(p-1\)，则返回true。
  通过多取几个x来提高测试的准确率。一般来说取2~23中的所有素数就可满足要求。

  class MillerRabin {
  public:
    Con int P[10] = { 2,3,5,7,11,13,19,61,2333,24251 };
    bool check(int x, int p) {
    	if (!(x%p) || Qpow(p%x, x - 1, x) != 1) { return false; }
    	ll k = x - 1, t;
    	while (!(k & 1)) {
    		t = Qpow(p%x, k >>= 1, x); 
    		if (t ^ 1 && t ^ (x - 1)) return false;
    		if (!(t ^ (x - 1))) return true;
    	}
    	return true;
    }
    bool IsPrime(int x) {
    	if (x < 2) return false;
    	for (Reg int i = 0; i <  10; ++i) {
    		if (!(x^P[i])) return true;
    		if (!check(x, P[i])) return false;
    	}
    	return true;
    }
  }MR;