ABC263F 题解

Solution

考虑 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个人赢下了第 \(j\) 场的最大价值，答案即为 \(\max_{i=1}^{n}f_{i,m}\)。

然后考虑状态转移，令 \(l,r\) 为第 \(i\) 个人在打第 \(j\) 场比赛时的区间，\(mid\) 为区间中点，然后分为两种情况：

1. 第 \(i\) 个人在左半部分，转移即为 \(f_{i,j}=f_{i,j-1}+\max_{k=mid+1}^{r}f_{k,j-1}+a_{i,j}-a_{i,j-1}\)。

2. 第 \(i\) 个人在右半部分，转移即为 \(f_{i,j}=f_{i,j-1}+\max_{k=l}^{mid}f_{k,j-1}+a_{i,j}-a_{i,j-1}\)。

注意此时应该先枚举 \(j\)，否则会有后效性。

发现式子里带有区间 \(\max\)，预处理一下即可。时间复杂度为 \(O(n \times 2^n)\)。

考场代码奇丑无比。

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long 
#define int long long  
#define x first 
#define y second 
#define debug() puts("-----") 
using namespace std; 
typedef pair<int,int> pii; 
const int N=1e5+10,M=20;  
int n,m; 
ll a[N][M],f[N][M]; 
ll g1[N][M],g2[N][M]; 
int Pow(int x,int k){ 
	int res=1; 
	while(k){
		if(k&1) res=res*x; 
		x=x*x; k>>=1;  
	} return res; 
} 
pii get(int i,int j){ 
	int l=(i-1)/j+1,r=l*j; 
	l=(l-1)*j+1; return pii(l,r); 
} 
signed main(){ 
//	freopen("game.in","r",stdin); 
//	freopen("game.out","w",stdout); 
	scanf("%lld",&m); n=pow(2,m); ll ans=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&a[i][j]); 
	for(int j=1;j<=m;j++){ 
		for(int i=1;i<=n;i++){ 
			int l=get(i,Pow(2,j)).x,r=get(i,Pow(2,j)).y,mid=l+r>>1; 
			if(i<=mid){ 
				ll res=g1[mid+1][j-1]+a[i][j]; 
//				if(j>=2){ 
//					int L=get(i,Pow(2,j-1)).x,R=get(i,Pow(2,j-1)).y,Mid=L+R>>1;
//					if(i<=Mid) res+=g2[Mid+1][j-2]; else res+=g2[L][j-2]; 
//				} 
				f[i][j]=max(f[i][j],res+f[i][j-1]-a[i][j-1]); 
//				 for(int k=mid+1;k<=r;k++){ ll res=0; 
//				 	if(j>=2) for(int p=l;p<=mid;p++) if(get(p,pow(2,j-2))!=get(i,pow(2,j-2))) res=max(res,f[p][j-2]); 
//				 	f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-1]+f[k][j-1]+a[i][j]-a[i][j-1]); 
//				 } 
			} else{ 
				ll res=g1[l][j-1]+a[i][j]; 
//				if(j>=2){
//					int L=get(i,Pow(2,j-1)).x,R=get(i,Pow(2,j-1)).y,Mid=L+R>>1;
//					if(i<=Mid) res+=g2[Mid+1][j-2]; else res+=g2[L][j-2]; 
//				} 
				f[i][j]=max(f[i][j],res+f[i][j-1]-a[i][j-1]); 
//				 for(int k=l;k<=mid;k++){
//				 	ll res=0;
//				 	if(j>=2) for(int p=mid+1;p<=r;p++) if(get(p,pow(2,j-2))!=get(i,pow(2,j-2))) res=max(res,f[p][j-2]);
//				 	f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-1]+f[k][j-1]+a[i][j]-a[i][j-1]); 
//				 }
			} ans=max(ans,f[i][j]); 
		} int p=Pow(2,j); 
		for(int i=1;i<=n;i+=p){ 
			for(int k=i;k<=i+p-1;k++) 
				g1[i][j]=max(g1[i][j],f[k][j]);  
		} p=Pow(2,j-1); 
		for(int i=1;i<=n;i+=p){ 
			for(int k=i;k<=i+p-1;k++) 
				g2[i][j-1]=max(g2[i][j-1],f[k][j-1]); 
		} 
	} printf("%lld\n",ans); return 0; 
} /*
2
2 5
6 5
2 1
7 9

3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1

3
7 8 6
9 5 3
9 6 5
4 3 3 
2 1 3
5 6 7 
9 1 2
10 8 9

2
4 9
3 6 
5 3 
2 7
*/