类欧几里得算法

难得有空写学习笔记。

写这篇笔记的时候同学在机房互吐冰红茶。

问题：给定 \(n,a,b,c\)，请你分别求出 \(f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor\)，\(g(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} i{\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor}\)，\(h(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} {\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor}^2\)。

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Part 1

考虑如何求 \(f(a,b,c,n)\)，分成两部分求解：

当 \(a,b > c\) 时：

则 \(f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} \lfloor \frac{a\bmod c \times i+b \bmod c+\lfloor \frac{a}{c} \rfloor\times c \times i+\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \times c}{c} \rfloor\)。

把常数项提出来即为 \(f(a,b,c,n)=\lfloor \frac{a}{c} \rfloor \times \frac{n(n+1)}{2}+\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \times (n+1)+\sum_{i=0}^{n} \lfloor \frac{a\bmod c \times i+b \bmod c}{c} \rfloor\)。

换一下求和部分：\(f(a,b,c,n)=\lfloor \frac{a}{c} \rfloor \times \frac{n (n+1)}{2}+\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \times (n+1)+f(a \bmod c,b \bmod c,c,n)\)，发现此时 \(a\bmod c,b \bmod c\) 都小于 \(c\)。

当 \(a,b < c\) 时：

则 \(f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor-1}1\)。

把 \(j\) 提到外面去变为 \(f(a,b,c,n)=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor-1}\sum_{i=0}^{n}[j<\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor]\)。

考虑转换条件式：

\(j < \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor \Rightarrow j \leq \frac{ai+b}{c}-1\Rightarrow i \geq \frac{jc+c-b}{a} \Rightarrow i > \lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor\)。

令 \(m=\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor\)，则 \(f(a,b,c,n)=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i > \lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor]\)。

最后 \(f(a,b,c,n)=\sum_{j=0}^{m-1}(n-\lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor)\)，即为 \(f(a,b,c,n)=nm-f(c,c-b-1,a,m-1)\)。

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Part 2

考虑求 \(g(a,b,c,n)\)。

同样的思路可以算出当 \(a,b>c\) 时： \(g(a,b,c,n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \times \lfloor \frac{a}{c} \rfloor+\frac{n(n+1)}{2} \times \lfloor \frac{b}{c} \rfloor+g(a\bmod c,b \bmod c,c,n)\)。

当 \(a,b<c\) 时，令 \(m=\lfloor \frac{an+b}c{} \rfloor\)，\(t=\lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor\)。

则 \(g(a,b,c,n)=\sum_{j=0}^{m-1} \sum_{i=0}^{n} i[i>t]\)。

不难得到 \(g(a,b,c,n)=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{1}{2}(n(n+1)-t(t+1))\)。

提出常数项得到 \(g(a,b,c,n)=\frac{1}{2}(nm(n+1)-\sum_{j=0}^{m-1}t-\sum_{j=0}^{m-1} t^2)\)。

最后把 \(t\) 带进去得到 \(g(a,b,c,n)=\frac{1}{2}(nm(n+1)-f(c,c-b-1,a,m-1)-h(c,c-b-1,a,m-1))\)。

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Part 3

考虑求 \(h(a,b,c,n)\)。

当 \(a,b>c\) 时：

考虑取模变形：\(h(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}(i\lfloor \frac{a}{c} \rfloor+\lfloor \frac{b}{c} \rfloor+\frac{a \bmod c\times i+b \bmod c}{c})^2\)。

展开可得：

\(h(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}(i^2 {\lfloor \frac{a}{c} \rfloor}^2+{\lfloor \frac{b}{c} \rfloor}^2+{\lfloor \frac{a \bmod c \times i+b \bmod c}{c} \rfloor}^2+2i\lfloor \frac{a}{c} \rfloor\lfloor \frac{b}{c} \rfloor+2i\lfloor \frac{a}{c} \rfloor{\lfloor \frac{a \bmod c \times i+b \bmod c}{c} \rfloor}+2\lfloor \frac{b}{c} \rfloor{\lfloor \frac{a \bmod c \times i+b \bmod c}{c} \rfloor})\)。

经过整理可得：

\(h(a,b,c,n)=h(a \bmod c,b \bmod c,c,n)+S_2(n){\lfloor \frac{a}{c} \rfloor}^2+(n+1){\lfloor \frac{b}{c} \rfloor}^2+2S_1(n){\lfloor \frac{a}{c} \rfloor}{\lfloor \frac{b}{c} \rfloor}+2{\lfloor \frac{a}{c} \rfloor}g(a \bmod c,b \bmod c,c,n)+2\lfloor \frac{b}{c} \rfloor f(a \bmod c,b \bmod c,c,n)\)。

其中 \(S_1(n)=\frac{n(n+1)}{2},S_2(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。

当 \(a,b<c\) 时：

一个简单有用的 trick：\(x^2=2 \frac{x(x+1)}{2}-x=2 \sum_{i=1}^{x} i-x\)。

然后带入原式：\(h(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n} 2(\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor} j)-{\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor}\)。

同样地，令 \(m=\lfloor \frac{an+b}c{} \rfloor\)，\(t=\lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor\)。

做最后的变形：

\(h(a,b,c,n)=2\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor-1} (j+1)-f(a,b,c,n)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\sum_{j=0}^{m-1} (j+1)(n-t)-f(a,b,c,n)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\sum_{j=0}^{m-1} (j+1)(n-\lfloor \frac{jc+c-b-1}{a} \rfloor)-f(a,b,c,n)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =nm(m+1)-2f(c,c-b-1,a,m-1)-2g(c,c-b-1,a,m-1)-f(a,b,c,n)\)

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最后一起考虑 \(a=0\) 时的情况，也就是把含 \(a\) 的项去掉即可。

三个公式一起递归求解即可，时间复杂度为 \(O(\log n)\)。

代码回家再写。

全机房在摸鱼。我也要颓颓颓

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Code

#include<bits/stdc++.h> 
#define int long long 
#define x first 
#define y second 
#define il inline 
#define debug() puts("-----") 
using namespace std; 
typedef pair<int,int> pii; 
il int read(){ 
	int x=0,f=1; char ch=getchar(); 
	while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); 
	return x*f; 
} 
const int Mod=998244353; 
const int inv2=499122177;  
const int inv6=166374059; 
struct Node{ int f,g,h; };  
il int s1(int x){ return x*(x+1)%Mod*inv2%Mod; } 
il int s2(int x){ return x*(x+1)%Mod*(2*x+1)%Mod*inv6%Mod; }  
il Node solve(int a,int b,int c,int n){ 
	Node ans,res; 
	int Ac=a/c,Bc=b/c; 
	int Ac2=Ac*Ac%Mod,Bc2=Bc*Bc%Mod; 
	if(a==0){ 
		ans.f=Bc*(n+1)%Mod; 
		ans.g=Bc*s1(n)%Mod; 
		ans.h=Bc2*(n+1)%Mod; 
		return ans; 
	} if(a>=c||b>=c){ 
		res=solve(a%c,b%c,c,n); 
		ans.f=(res.f+Ac*s1(n)%Mod+Bc*(n+1)%Mod)%Mod; 
		ans.g=(res.g+Ac*s2(n)%Mod+Bc*s1(n)%Mod)%Mod; 
		ans.h=(res.h+Ac2*s2(n)%Mod+Bc2*(n+1)%Mod)%Mod; 
		ans.h=(ans.h+2*(s1(n)*Ac%Mod*Bc%Mod+Ac*res.g%Mod+Bc*res.f%Mod)%Mod)%Mod; 
		return ans;  
	} int m=(a*n+b)/c; 
	res=solve(c,c-b-1,a,m-1); 
	ans.f=(n*m%Mod-res.f)%Mod; 
	ans.g=(n*m%Mod*(n+1)%Mod-res.f-res.h)%Mod*inv2%Mod; 
	ans.h=(n*m%Mod*(m+1)%Mod-2*(res.f+res.g)%Mod-ans.f)%Mod; 
	ans.f=(ans.f+Mod)%Mod,ans.g=(ans.g+Mod)%Mod,ans.h=(ans.h+Mod)%Mod;  
	return ans; 
} 
il void work(){ 
	int n=read(),a=read(),b=read(),c=read(); 
	Node ans=solve(a,b,c,n); printf("%lld %lld %lld\n",ans.f,ans.h,ans.g); 
} 
signed main(){ 
	int T=read(); 
	while(T--) work(); 
	return 0; 
}