微积分(A1) 知识点整理 【更新中】

微积分(A)知识点整理

一. 数列和函数的极限

1. 数列极限

• \(\varepsilon-N\) 语言： \(\lim_{n\to\infty}a_n=A\Longleftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\) 当 \(n>N\) 时 \(,|a_n-A|<\varepsilon.\)
• 收敛数列的基本性质
  • 收敛数列必有界
  • 保序性
  • 夹逼原理
• 单调收敛定理
• Stolz 定理：（保证极限存在）

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}. \]

• Bolzano–Weierstrass 定理：有界数列必有收敛子列

2. 函数极限

• 函数极限的定义（点出极限，无穷远处极限）
• 函数极限的性质
  • 保序性
  • 四则运算性质
  • Heine 定理：\(\lim_{x\to a}f(x)=L,\) 当且仅当：对任意满足\(x_n\neq a\)且\(\lim_{n\to\infty}x_n=a\)的数列\(\{x_n\}\),都有：\(\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L\)

Heine定理的应用：若能找到两个数列\(x_n\to a\) 和 \(y_n\to a\) ,但 \(f(x_n)\) 和 \(f(y_n)\) 的极限不同,则原函数极限不存在.

• 无穷小量和无穷大量
• 间断点类型
  • 第一类（可去、跳跃）
  • 第二类（无穷、震荡）
• 闭区间上连续函数性质
  • 有界性与最值性
  • 介值定理

常见极限形式

\[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. \]

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e. \]

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\quad(a\in\mathbb{R}). \]

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0\quad(a>1,k\in\mathbb{R}^+) \]

Stirling 公式：

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1. \]

二. 导数与微分

1. 基础概念

• 导数的定义
• 可导与连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导.
• 左/右导数
• 微分: \(df=f'(x)dx\).

题型：函数渐近线的求解方法

1. 求出水平和渐近线
2. 求斜渐近线
   求斜率： $$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}.$$
   求截距：$$b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx].$$

2. 常用函数的导数与高阶导数公式

一阶导数

三角函数

\[\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x. \]

\[\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x. \]

\[\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x. \]

\[\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x. \]

反三角函数

\[\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

\[\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

\[\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}. \]

\[\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x=-\frac{1}{1+x^2}. \]

双曲函数

\[\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x. \]

\[\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x. \]

\[\frac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2 x. \]

高阶导数

多项式

\[(x^n)^{(k)}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)x^{n-k}. \]

正弦与余弦

\[\frac{d^n}{dx^n}\sin(ax)=a^n\sin(ax+\frac{n\pi}{2}). \]

\[\frac{d^n}{dx^n}\cos(ax)=a^n\cos(ax+\frac{n\pi}{2}). \]

对数函数 与 分式函数

\[(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}. \]

\[[\ln (x+1)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}. \]

\[\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}=(-1)^{n}\frac{(n)!}{x^{n+1}}. \]

\[\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=(-1)^{n}\frac{n!a^n}{(ax+b)^{n+1}}. \]

\[\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}. \]

\[\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)}=(-1)^{n}\frac{n!}{(1+x)^{n+1}}. \]

莱布尼茨公式

\[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}. \]

3. 微分中值定理及应用

微分中值定理：

• 费马定理：可导极值处导数为0
• 罗尔定理：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续，在 \((a,b)\) 可导，且 \(f(a)=f(b)\), 则存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f^{\prime}(\xi)=0.\)
  • 推广：若 \(f\) 在 \((a,b)\) 有 \(n\) 个零点，则 \(f'\) 有 \(n-1\) 个零点.
• 拉格朗日中值定理
• 柯西中值定理：\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)},\xi\in(a,b),g^{\prime}(x)\neq0.\)

洛必达法则

泰勒展式

• 带 Peano 余项 $$f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o((x-x_0)^n).$$
• 带 Lagrange 余项 $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

常用泰勒展开

函数	展开式
$$e^x$$	$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$$
$$\sin x$$	$$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^7)$$
$$\cos x$$	$$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^6)$$
$$\ln(1+x)$$	$$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$$
$$(1+x)^\alpha$$	$$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + o(x^3)$$
$$\frac{1}{1-x}$$	$$1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)$$
$$\sqrt{1+x}$$	$$1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)$$
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$$	$$1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + o(x^3)$$
$$\arctan x$$	$$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + o(x^7)$$
$$\tan x$$	$$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + o(x^7)$$
$$\arcsin x$$	$$x + \frac{x^3}{6} + \frac{3}{40}x^5 + o(x^5)$$

三. 黎曼积分

黎曼可积的定义：

• 上下积分相等.
• \(\exists I\) 使得 \(\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0\)，当 \(\|P\| < \delta\) 时, 对任意选取的 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\), 有 \(\left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i - I \right| < \varepsilon.\)

题型：用黎曼和求极限

方法：\(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\text{某个 }x_i^*)\cdot\frac{b-a}{n},\)

• 令 \(i=1,n\) 求出范围
• 提取 \(f(x_i^*)\)

点击查看例题

\[\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}}{n} \]

解答：$$\ln I=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln(n+i)-\ln n\right].$$
凑 \(\frac{i}{n}:\)

\[\ln I=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left[\sum_{i=1}^n\ln n+\sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac{i}{n}\right)\right]-\lim_{n\to\infty}\ln n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac{i}{n}\right). \]

所以

\[\ln I=\int_0^1\ln(1+x). \]

黎曼积分的性质：

• 线性性
• 区间可加性
• 单调性
• 绝对值不等式

积分中值定理

第一中值定理

• 形式1：若\(f\)在\([a,b]\)连续，则\(\xi\in[a,b]\)使

\[\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \]

• 形式2：若\(f,g\)连续，\(g\)不变号，则\(\xi\in[a,b]\)使

\[\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx \]

第二中值定理

• 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 可积，\(g\) 单调，则 \(\exists \xi \in [a,b]\) 使

\[\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a) \int_a^\xi f(x)dx + g(b) \int_\xi^b f(x)dx \]

• 特别地，若 \(g\) 单调递减且非负，有 Bonnet 形式：

\[\int_a^b f(x)g(x)dx = g(a) \int_a^\xi f(x)dx\]

柯西-施瓦茨不等式（积分版本）

\[\left(\int_a^bf(x)g(x)dx\right)^2\leq\left(\int_a^bf^2(x)dx\right)\left(\int_a^bg^2(x)dx\right) \]

四. 不定积分与定积分

1. 基本积分公式

指数函数和幂函数

\[\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C. \]

\[\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C. \]

三角函数

\[\begin{aligned}\int \tan xdx&=-\ln|\cos x|+C\\\int \cot xdx&=\ln|\sin x|+C\\\int\sec^2xdx&=\tan x+C\\\int\csc^2xdx&=-\cot x+C\end{aligned} \]

反三角函数

\[\begin{aligned}\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx&=\arcsin x+C\\\int\frac{1}{1+x^2}dx&=\arctan x+C\end{aligned} \]

2. 常考积分形式

积分形式

• \(\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C.\)

\[\int \sec xdx=\int \frac{1}{1-\sin^x}d\sin x. \]

• \(\int \csc xdx=\ln |\csc x - \cot x|+C.\)
• \(\int \sec^3 xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C.\)

\[\int\sec^3 xdx=\tan x\sec x-\int \sec x\tan x\tan xdx. \]

\[\int \sec x\tan^2 xdx=\int \sec^3 xdx-\int \sec xdx=I-\ln|\sec x+\tan x|. \]

\[\therefore 2I=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|+C. \]

\[I=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C. \]

• \(\int \csc^3 xdx=-\frac{1}{2}\csc x\cot x+\frac{1}{2}\ln|\csc x-\cot x|+C.\)
• \(\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln|1+x^2|+C.\) （分部积分）
• \(\int e^{ax}\cos bxdx, \int e^{ax}\sin bxdx\)：使用两次分部积分，出现原函数.

Wallis 公式

形式	结果
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2m} xdx$$	$$\textcolor{red}{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}$$
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2m+1} xdx$$	$$\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$$
$$\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{2m} xdx,\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{2m+1}xdx$$	同上
$$\int_0^{\pi/2} \sin^mx \cos^nxdx$$	$$\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\times K$$

当且仅当 \(m,n\) 全为偶数时 \(K=\frac{\pi}{2}\)，否则 \(K=1.\)

Stirling 公式

Stirling公式：$$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.\quad(n\rightarrow +\infty)$$

对数形式

\[\ln n!=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln(2\pi n)+O\left(\frac{1}{n}\right). \]

近似：

\[\ln n!\approx n\ln n-n. \]

3. 换元法

第一换元法

第二换元法

分部积分

部分分式分解

1. 一次不重复因式
   例：

\[\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}. \]

2. 分母含高次项
   例：

\[\frac{x^2+1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}. \]

3. 二次不可约因式
   例：

\[\frac{x^2+2x+3}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}. \]

4. 二次重复因式
   例：

\[\frac{x^2+1}{(x^2+2x+2)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+2x+2}+\frac{Cx+D}{(x^2+2x+2)^2}. \]

5. 假分式
6. 一次因式
   例：

\[\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}. \]

周期函数积分

4. 特殊积分

• Euler积分

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin xdx=-\frac{\pi}{2}\ln2; \]

• 特殊根式

\[\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi; \]

• Euler-Poisson 积分

\[\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}; \]

• Dirichlet 积分

\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin xdx}{x}=\frac{\pi}{2}. \]

五. 积分的应用

1. 平面图形的面积

直角坐标

\[S=\int_a^b \left[f(x)-g(x)\right]dx. \]

参数方程给出的曲线面积

若 \(x=x(t),y=y(t), \alpha\le t\le\beta\) 那么

\[A=\int_{\alpha}^{\beta}y\left(t\right)x^{\prime}(t)dt. \]

极坐标下面积

\[S =\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta\left[f(\theta)\right]^2d\theta. \]

2. 空间曲线的弧长

直角坐标

\[s=\int_a^b\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}dx \]

参数方程

\[s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x^{\prime}(t)]^2+[y^{\prime}(t)]^2+[z^{\prime}(t)]^2}dt. \]

极坐标

\[s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r^{\prime}(\theta)]^2}d\theta. \]

3. 旋转体体积

• 绕 \(x\) 轴：

\[V=\int_a^b\pi [f(x)]^2dx. \]

• 绕 \(y\) 轴（柱壳法）：

\[V=\int_a^b2\pi x f(x)dx. \]

4. 旋转面面积

• 绕 \(x\) 轴（用弧长的微分做 \(ds\)）：

\[S=2\pi\int_a^by\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx. \]

• 绕 \(y\) 轴：

\[S=2\pi\int_a^bx\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx. \]

• 参数方程：

\[S=2\pi\int_\alpha^\beta x(t)\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}dt; \]

\[S=2\pi\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}dt. \]

二级结论：相同高度的球面带面积相等，并且与相同半径，相同高度的柱面高度相等（Archimedes 定理）.

点击查看证明

运用 $$S=2\pi\int_x^{x+\Delta h} y\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx,$$ 代入：

\[S=2\pi\int_x^{x+\Delta h}\sqrt{a^2-x^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=2\pi a\Delta h. \]

5. 质心和形心

力矩：微元质量 \(\times\) 到 \(x / y\) 轴的垂直距离.

注意：当计算关于 \(x\) 轴的力矩时，取微小竖条，此时注意到 \(x\) 轴的距离 \(y\) 也在发生变化，积分后求平均值系数有 \(\frac{1}{2}\).

曲线的形心

当 \(\rho(t)=c\) 为常数时，质心和形心重合.

形心：

\[\bar{x}=\frac{\int_\alpha^\beta x(t)\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}dt}{\int_\alpha^\beta\sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}dt}. \]

记忆：力矩比弧长.

• Guldin 第一定理

侧面积 \(=\) 弧长 \(\times\) 形心绕轴旋转的周长.

平面的形心

\[\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\int_{a}^{b}xy(x)dx}{\int_{a}^{b}y(x)dx},\quad\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{1}{2}y(x)^2dx}{\int_{a}^{b}y(x)dx}. \]

• Guldin 第二定理

旋转体体积 \(=\) 图形面积 \(\times\) 形心绕轴旋转的周长.

六. 广义黎曼积分

1. 两类反常积分

• 无穷区间上的广义积分
• 瑕积分
• 混合型

2. 收敛性定义和计算

• 拆点原则：积分区间内若有多个瑕点或无穷端点，必须在收敛区间内拆开，分别判断.

若 \(0\leq f(x)\leq g(x),\int_a^\infty g\) 收敛 \(\Rightarrow\int_a^\infty f\) 收敛; \(\int_a^\infty f\) 发散 \(\Rightarrow\int_a^\infty g\) 发散;

3. 绝对收敛和条件收敛

• 若\(\int|f(x)|dx\) 收敛，则称\(\int f(x)dx\) 绝对收敛(此时必收敛).
• 若\(\int f(x)dx\) 收敛，但\(\int|f(x)|dx\) 发散，则称条件收敛.

4. 条件收敛的判断

• 比较判别法, 比较判别法的极限形式（看两个函数极限的比值）
• Dirichlet 判别法（无穷区间）：

设 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上满足：

1. \(F(t) = \int_a^t f(x)dx\) 在 \([a, +\infty)\) 上有界，即存在 \(M > 0\) 使得

\[\left|\int_a^t f(x)dx\right| \leq M, \quad \forall t \geq a \]

2. \(g(x)\) 单调，且 \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\).

则广义积分 \(\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx\) 收敛.

• Dirichlet 判别法（瑕积分）：

设 \(f(x),g(x)\) 在 \((a,b]\) 上 (\(a\) 是瑕点)满足：

1. \(\int_t^bf(x)dx\) 在\(t\to a^+\) 时有界.

2. \(g(x)\) 单调，且 \(\lim_{x\to a^+}g(x)=0\),

则

\(\int_a^bf(x)g(x)dx\) 收敛。

• Abel 判别法（无穷区间）：

1. \(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\) 收敛(不一定绝对收敛).

2. \(g(x)\) 单调有界 (即存在 \(K\) 使 \(|g(x)|\leq K\), 且单调).

则 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx\) 收敛.

• Abel 判别法（瑕积分）：

1. \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) 收敛。
2. \(g(x)\) 在 \((a,b]\) 单调有界。

则 \(\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx\) 收敛。

注意记忆：由于 Abel 判别法单调有界的条件弱于 Dirichlet 判别法趋于 \(0\) 的条件，所以 Abel 判别法对于反常积分 \(F(x)\) 收敛的条件强于 Dirichlet 判别法 \(\int_t^bf(x)\) 有界。

• 例：\(\sin t\) 的原函数有界但不收敛.

5. 混合和拆分

对于 \(\int_a^bf(x)dx\)，若中间有瑕点 \(c\in(a,b)\)，必须拆为：

\[\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b \]

两个都收敛才叫收敛。

6. 特殊的反常积分

1. 查看特殊积分
2. \(\Gamma\) 函数:

\[\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx. \]

• 性质：\(\Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\quad\Gamma(1)=1,\quad\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.\)
  \(n\) 为正整数时，\(\Gamma(n+1)=n!.\)

3. \(\Beta\) 函数

\[\Beta(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx, \]

• 对称性

重要：

\[B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}. \]

点击查看例题

计算 \(\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{3}dx\).

解：$$B(3,4) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)} = \frac{2! \cdot 3!}{6!} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60}.$$

七. 微分方程

1. 可分离变量方程

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y). \]

分离变量即可. 注意 \(+C.\)

2. 齐次方程

\[\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x}. \]

方法：设比值后转化为可分离变量方程

\[u+x\frac{du}{dx}=u+\tan u. \]

注意：左侧对 \(ux\) 求导，注意 \(u\) 也是 \(x\) 的函数.

3. 一阶线性方程

\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). \]

积分因子法：$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}, $$

\[\frac{d}{dx}y\mu(x)=\mu(x)Q(x). \]

\[y=\frac{1}{\mu(x)}\left[\int\mu(x)Q(x)dx+C\right]. \]

• 周期解存在条件：若 \(\phi(x)=0\)，那么

\[\phi(2\pi)=\phi(0). \]

常数变易法：
设 $$y=C(x)e^ {\int_{x_0}^x a(s)ds},$$ 代入求出 \(C(x).\)

4. 伯努利方程

\[y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x). \]

解法：设 \(z=y^{1-n}.\)

\[\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}. \]

代入原方程得：

\[\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x) \]

得到一阶线性方程：

\[\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) \]

5. 恰当方程

使用偏积分法.例：

\[(3x^2+2xy)dx+(x^2+y^2)dy=0. \]

判别：

\[M = 3x^2 + 2xy, \quad N = x^2 + y^2 \]

\[M_y = 2x, \quad N_x = 2x, \quad M_y = N_x\]

所以是恰当方程。
解（偏积分法）：

\[u(x, y) = \int M \, dx = \int (3x^2 + 2xy) \, dx = x^3 + x^2y + \varphi(y) \]

\[\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + \varphi'(y) = N = x^2 + y^2 \]

得 \(\varphi'(y) = y^2\)，积分 \(\varphi(y) = \frac{y^3}{3} + C\).
3. 通解：

\[x^3 + x^2y + \frac{y^3}{3} = C. \]

6. 二阶线性方程

常数变易法

已知方程 $$y''+a(x)y^{\prime}+b(x)y=f(x),$$
已知齐次方程对应的基本解组 \(y_1(x),y_2(x)\), 那么假设方程的特解

\[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x). \]

\[y_p'(x)=u_1'y_1+u_1y_1'+u_2'y_2+u_2y_2'. \]

为了简便，增加限制条件使不含有 \(u_1',u_2'\) 的项.

\[u_1'y_1+u_2'y_2=0. \]

代入原方程，得到

\[\mathbf{u_1}[y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1] + \mathbf{u_2}[y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2] +(\mathbf{u_1}'y_1' + \mathbf{u_2}'y_2') = \mathbf{R(x)}.\]

因此

\[c_1'y_1'+c_2'y_2'=R(x). \]

7. 常系数二阶齐次方程

特征方程求基本解组：

• \(p^2>4q\)：\(e^{\lambda_1}x,e^{\lambda_2}x\)
• \(p^2=4q\)：\(e^{\lambda_1}x,xe^{\lambda_1}x\)
• \(p^2<4q\)：设特征值为 \(a+ib,a-ib,\) 那么 \(\mathrm{y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx).}\)

8. 二阶常系数线性非齐次微分方程

1. 写出齐次方程的特征方程，求出特征根 \(r_1, r_2\)。
2. 将右端 \(f(x)\) 写成标准形式:

\[f(x) = e^{\alpha x} \left[ P_m(x) \cos(\beta x) + Q_n(x) \sin(\beta x) \right] \]

若不含三角，则 \(\beta = 0\); 若不含指数，则 \(\alpha = 0\)。

3. 确定 \(s\):

• 若 \(\alpha + i\beta\) 不是特征根 \(\Rightarrow s = 0\)
• 若 \(\alpha + i\beta\) 是特征单根 \(\Rightarrow s = 1\)
• 若 \(\alpha + i\beta\) 是特征重根（实且 \(\beta = 0\) 时二重） \(\Rightarrow s = 2\)

4. 确定多项式次数 \(k\): \(k = \max(m, n)\)。
5. 写出特解待定形式:

\[y_p = x^s e^{\alpha x} \left[ \tilde{P}_k(x) \cos(\beta x) + \tilde{Q}_k(x) \sin(\beta x) \right]\]

其中 \(\tilde{P}_k, \tilde{Q}_k\) 系数待定。

6. 代入原方程，比较系数，确定所有待定参数。