线性代数知识点整理

线性代数知识点整理

一. 行列式与矩阵的基本运算

1. 矩阵的乘法

左行右列：左乘可逆矩阵相当于做初等行变换，右乘可逆矩阵相当于做初等列变换。

2. 矩阵的转置

• 双重转置

\[(A^T)^T=A. \]

• 线性性

\[(A+B)^T=A^T+B^T. \\ kA^T=k(A^T). \]

• 穿脱原则（可从线性变换角度看）

\[(AB)^T=B^TA^T. \]

• 转置与行列式（适用于方阵）

\[\det(A^T)=\det(A). \]

• 转置与秩与迹

\[rank(A^T)=rank(A) \\ tr(A^T)=tr(A). \]

3. 矩阵的逆

• 逆的逆是本身。
• 穿脱原则（类似于转置）
• 逆的数乘和幂

\[(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}. \]

\[(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m. \]

• 正交矩阵：\(Q^TQ=I.\)

• 伴随矩阵（\(adj(A)\)或\(A^*\)）：

\[A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}. \]

\[(adj(A))^T=adj(A^T).adj(A^{-1})=(adj(A))^{-1}. \]

二阶矩阵的快速求逆方法：系数为\(\frac{1}{|A|}\)，主对角线交换，反对角线取相反数.
- 伴随矩阵的重要结论

\[\mathrm{rank}(A^*)=\begin{cases}n,&\mathrm{if~}\mathrm{rank}(A)=n,\\1,&\mathrm{if~}\mathrm{rank}(A)=n-1,\\0,&\mathrm{if~}\mathrm{rank}(A)\leq n-2.&&\end{cases} \]

• Gauss-Jordan 消元法：对增广矩阵 \([A|I^n]\) 进行初等变换，使 \(A\) 变成单位矩阵，右侧 \(I_n\) 即为 \(A^{-1}\).

4. 矩阵的迹

\[\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\sum_{i=1}^na_{ii}. \]

• 线性性

\[\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B),\quad\mathrm{tr}(kA)=k\mathrm{~tr}(A). \]

• 交换性

\[\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)=\operatorname{tr}(BCA). \]

• 相似不变性

若 \(P\) 可逆，$$\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A).$$

• 行列式、迹和特征值的关系

\[\begin{aligned}\operatorname{tr}(A)&=\sum\lambda_i.\\\det(A)&=\prod\lambda_i.\end{aligned} \]

• 特殊矩阵的迹
  • 幂等矩阵：特征值只能是 \(0\) 或 \(1\)。因此，\(\operatorname{tr}(A)=r.\)
  • 幂零矩阵：\(\operatorname{tr}(A)=0.\)

例题1

设 \(A\) 是 3 阶矩阵，\(\det(A+I_3)=\det(A+2I_3)=\det(A+3I_3)=0\)，则 \(\det(A+4I_3)=\) ________.

查看答案

根据题意有

\[\begin{cases} (\lambda_1+1)(\lambda_2+1)(\lambda_3+1)=0\\ (\lambda_1+2)(\lambda_2+2)(\lambda_2+2)=0\\ (\lambda_1+3)(\lambda_2+3)(\lambda_3+3)=0\\ \end{cases}.\]

\(\lambda_1=-1,\lambda_2=-2,\lambda_3=-3\) 是一组解，代入 \((\lambda_1+4)(\lambda_2+4)(\lambda_3+4) = 6\).

例题2

已知 $ AB-BA=I$，证明不存在同阶方阵 $ A,B $ 满足此式.

查看答案

左右同时取迹，左侧 \(=0\)，右侧 \(=n\).

5. 行列式的基本性质

• 对单一行/列具有线性：不同于矩阵！
• 反对称性：交换矩阵的两行（或两列），行列式变号
• 行（列）相同/成比例，则行列式为\(0\).
• 矩阵乘积的行列式

\[ \det(AB)=\det(A) \det(B).\\ \textcolor{red}{\det(kA)=k^n\det(A).}\]

• 行列式与特征值

\[\det(A)= \lambda_1 \lambda_2\cdots\lambda_n. \]

• 证明某矩阵可逆常见的几种方法
  • 构造逆矩阵.
  • 证明 \(|A|\not=0.\)
  • 证明齐次方程$ Ax=0 $只有零解.
  • 证明 \(rank(A)=n\).

例题

若 \(I-AB\) 可逆，证明 \(I-BA\) 可逆.

查看答案

方法：构造显式逆矩阵.

先猜：
设 \(C=(I-AB)^{-1}.\) 对于小的 \(||AB||\)，

\[(I-AB)^{-1}=I+AB+(AB)^2+(AB)^3+\cdots. \]

若 \(I-BA\) 可逆，

\[(I-BA)^{-1}=I+BA+(BA)^2+(BA)^3+\cdots. \]

考虑：\((BA)^2=B(AB)A,\quad(BA)^3=B(AB)^2A.\)
所以猜\(I+BA+(BA)^2+(BA)^3+\cdots=I+B(I+AB+(AB)^2+\cdots)A=I+BCA.\)

后证：
代回验证即可. 左右乘都要验证！

二. 求行列式的技巧

1. 爪型行列式

\[D_n=\begin{vmatrix}a_0&b_1&b_2&\ldots&b_n\\c_1&a_1&0&\ldots&0\\c_2&0&a_2&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_n&0&0&\ldots&a_n\end{vmatrix}. \]

• 将\(2-n\)列的 \(-\frac{c_{i-1}}{a_{i-1}}\) 倍加到第一列，从而消去 \(c_1,c_2,\cdots,c_n.\)

\[D_n=\left(a_0-\sum_{i=1}^n\frac{b_ic_i}{a_i}\right)\cdot a_1a_2\ldots a_n. \]

2. 范德蒙行列式

\[V_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1\\x_1&x_2&x_3&\ldots&x_n\\x_1^2&x_2^2&x_3^2&\ldots&x_n^2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\ldots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}. \]

\[V_n=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i). \]

经典变形

证明：（课本习题1.11）

\[\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&\cdots&x_n^{n-2}\\x_1^n&x_2^n&\cdots&x_n^n\end{vmatrix}=\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j), \]

查看答案

记左边行列式为 \(D(x_1,\ldots,x_n)\). 易知 $$ \prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j) $$ 是 \(D\) 的因子.
而 \(D\) 的总次数为 \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}+n\)；\(V\) 的总次数是 \(\frac{n(n-1)}{2}.\)
因此另一因子（设为 \(S\) ）的次数是 \(1.\)
因此，

\[S=c\cdot(x_1+\cdots+x_n). \]

\(n=3\) 时代入即可得到 \(c=1.\)

3. 三对角行列式

\[D_n=\begin{vmatrix}a&b&0&\ldots&0&0\\c&a&b&\ldots&0&0\\0&c&a&\ldots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\ldots&a&b\\0&0&0&\ldots&c&a\end{vmatrix}. \]

• 构造递推.

4. 循环行列式（行/列和相等）

例如：

\[\begin{vmatrix}a&b&b&\ldots&b\\b&a&b&\ldots&b\\b&b&a&\ldots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b&b&b&\ldots&a\end{vmatrix} \]

• 所有行加到第一行，提取公因子之后化为上三角.

5. 含有相同常数项的行列式

例如：

\[\begin{vmatrix}x_1+a&a&a&\ldots&a\\a&x_2+a&a&\ldots&a\\a&a&x_3+a&\ldots&a\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&a&\ldots&x_n+a\end{vmatrix} \]

加一行一列：

\[\begin{vmatrix}1&a&a&a&\ldots&a\\0&x_1+a&a&a&\ldots&a\\0&a&x_2+a&a&\ldots&a\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a&a&a&\ldots&x_n+a\end{vmatrix} \]

第一行乘 \(-1\) 加到其他行，变为爪型行列式.
结果：

\[\left(1+\sum_{i=1}^n\frac{a}{x_i}\right)\cdot\prod_{i=1}^nx_i. \]

三. 分块矩阵

1.加法与数乘

\[A+B=\begin{bmatrix} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12}\\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} \end{bmatrix},\]

2.转置

\[A^T=\begin{bmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T\\ A_{12}^T & A_{22}^T \end{bmatrix},\]

3.分块矩阵的行列式

• 分块对角、上下三角矩阵：

\[\det(A)=det(A_{11})\det(A_{22}). \]

• 一般的分块矩阵（\(A\)可逆时）

构造分块下三角矩阵（思路：目的是将 \(C\) 消为 \(0\) ，又因为 \(A\) 可逆，故构造 $ -CA^{-1}$.）

\[\begin{bmatrix} I & 0\\ -CA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0\\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix}.\\\therefore \begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).\]

其中 \(D-CA^{-1}B\) 称作 \(A\) 的 \(Schur\) 补；\(A-BD^{-1}C\) 称作 \(D\) 的 \(Schur\) 补.（后一项顺时针顺序排列！）

4. 分块矩阵求逆的一般方法

• 设出逆矩阵，解方程。

四. 矩阵的初等变换

1. 初等矩阵

• 初等变换的基本类型：
  • 倍乘
  • 互换
  • 倍加
• 初等矩阵

\[(1)E_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & 1 & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{aligned} &\leftarrow i\text{行} \\ &\leftarrow j\text{行} \end{aligned} \]

\[(2)E_i(k) = \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & k & \\ & & & & \ddots \\ & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{aligned} \\&\leftarrow i\text{行} \end{aligned}\]

将第 \(i\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行.

\[(3) E_{ij}(k) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & \\ & & & \ddots & \vdots & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{aligned} &\leftarrow j\text{行} \\\\ &\leftarrow i\text{行} \end{aligned}\]

2. 矩阵相抵和相抵标准型

矩阵相抵：\(A\cong B\Longleftrightarrow r(A)=r(B).\)

相抵标准型：对于任意秩为 \(r\) 的矩阵 \(A\)，存在可逆矩阵 \(P,Q\)，

\[PAQ=\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}_{m\times n}. \]

五. 几何空间中的向量

1. 向量运算基础

• 向量的叉积

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}. \]

\(\textcolor{red}{\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}}\). 注意
\(\vec{a}\times(\vec{\beta}+\vec{\gamma})=\vec{a}\times\vec{\beta} + \vec{a}\times \vec{\gamma}.\)

• 向量的混合积

\[(\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta},\mathbf{\gamma})=(\alpha \times \beta) \cdot \gamma. \]

• 两向量共线：\(\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{0}.\)
• 三向量共面：\((\mathbf{a,b,c})=0.\)
• 四面体体积：\(V=\frac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|.\)
• 二重向量积：\(\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\).

2. 平面的方程

• 点法式方程

已知平面上一点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)和法向量\(\vec{n}=(A,B,C)\)，平面方程: $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

• 三点式方程（原理：叉积为零

已知一点 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 和向量 \(\vec{\alpha_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{\alpha_2}(x_2,y_2,z_2).\)

\[\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_1 &y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}=0. \]

3. 直线的方程

• 点向式/对称式

已知平面上一点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)和方向向量\(\vec{n}=(A,B,C)\)，平面方程: $$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}.$$

• 参数式：由点向式引入参数 \(t\).
• 一般式：两平面的交线. 其中直线的方向向量：\(\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}\).

4. 平面的位置关系 常考！

考虑三元一次方程组构成的系数矩阵 \(A\) 和增广矩阵 \((A|b)\) .

\[\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right]\]

\(r(A)\)	\(r(A｜b)\)	解的个数	平面的关系
3	3	唯一解	三面交于一点
2	2	无穷多解（一条直线）	三面共线
2	3	无解	三棱柱型（无公共点）或两平一交（不共点）
1	2	无解	三个平面至少两个不同且平行（无公共点）
1	1	无穷多解（一个平面）	三个平面重合

5. 平面与直线的综合

• 点到直线距离

点 \(P\) 到直线 \(l\) (过 \(M\)，方向向量 \(\vec{s}\) ) 的距离：

\[d=\frac{|\overrightarrow{PM}\times\overrightarrow{s}|}{|\overrightarrow{s}|}. \]

• 异面直线距离：

已知 \(l_1\) 过 \(M_1\)，方向 \(\overrightarrow{s_1}\)；
\(l_2\) 过 \(M_2\)，方向 \(\overrightarrow{s_2}.\\\)
公垂线方向向量：

\[\overrightarrow{n}=\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2}. \]

进而，

\[d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}. \]

• 求公垂线方程：构造过 \(l_1,l_2\) 并且以 \(\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{n}, \overrightarrow{s_2}\times\overrightarrow{n}\) 为法向量的平面.

例：求直线 \(l_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\) 和 \(l_2:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}\) 的公垂线方程.

点击查看答案

1. 公垂线 \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v_1}\times\overrightarrow{v_2}.\)

\[\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}=(2,-7,-3).\]

2. 求 \(\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{n}, \overrightarrow{s_2}\times\overrightarrow{n}\).

\[\overrightarrow{m_1} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & -7 & -3\\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(10,-4,16).\quad \overrightarrow{m_2} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 2 & -7 & -3\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}=(-24,-9,5).\]

3. 求平面 \(\Pi_1,\Pi_2\).

\[\Pi_1:5(x-1)-2y+8(z+1)=0.\quad \Pi_2:-24x-9(y-1)+5(z-2)=0. \]

4. 联立

\[\begin{cases} 5x-2y+8z+3=0\\-24x-9y+5z-1=0 \end{cases}.\]

• 求一个向量在另一个向量垂直方向上的投影：

\[\overrightarrow{a}_{\perp b}=\overrightarrow{a}-\mathbf{proj}_ba,\quad \therefore \overrightarrow{a}_{\perp b}=\overrightarrow{a}-\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{b}||^2}. \]

• 求向量在平面上的投影：即求出向量在垂直于平面法向量方向上的投影.

六. 向量空间

1. 向量组的线性相关性

线性相关：存在不全为 \(0\) 的 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 使得 \(k_1\overrightarrow{\alpha_1}+k_2\overrightarrow{\alpha_2}+\cdots+k_n\overrightarrow{\alpha_n}=0.\)

2. 矩阵的秩

秩的性质

• \(r(A)=r(A^T).\)

• \(r(A+B)\le r(A)+r(B).\)

• \(r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\}.\)

• \(r\left(\begin{bmatrix} A & 0\\ C & B \end{bmatrix}\right)\le r(A)+r(B).\)

• \(\max\{r(A),r(B)\} \le r(A | B) \le r(A)+r(B).\)

• (满秩分解) 若 \(r(A)=r\)，则存在列满秩矩阵 \(G\) 和行满秩矩阵 \(H\)，使得 \(A=GH.\) 其中 \(r(G)=r(H)=r.\)

  • Sylvester不等式是Frobenius不等式的特殊形式.

点击查看(2)证明

对于右侧：
设 \(r(A)=r.\) 存在可逆的 \(P,Q\)，使得

\[PAQ=\begin{bmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}.\\ \therefore PAB=PAQQ^{-1}B=\begin{bmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}Q^{-1}B. \]

对 \(Q^{-1}B\) 做分块，

\[Q^{-1}B=\begin{bmatrix} C_1\\ C_2 \end{bmatrix} \begin{aligned} r行\\(n-r)行 \end{aligned}. \\\therefore PAB=\begin{bmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} C_1\\ C_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} C_1\\ 0 \end{bmatrix}. \\ r(AB)=r(PAB)=r(C_1)\le r. \]

同理可推出 \(r(AB)\le r(B).\)

对于左侧：构造分块矩阵

\[M=\begin{bmatrix} A & 0\\ I_n & B \end{bmatrix}.\]

由矩阵的初等变换可知：

\[r(M)=r\left(\begin{bmatrix} I_n & 0\\ 0 & AB \end{bmatrix}\right)=n+r(AB).\]

又 $$r(M)>r(A)+r(B).\\therefore r(A)+r(B)-n\le r(AB).$$

点击查看(6)证明

对 \(A\) 求相抵标准型：

\[PAQ=\begin{bmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}_{m\times n}=\begin{bmatrix} I_r\\ 0 \end{bmatrix}_{m\times r}\begin{bmatrix} I_r & 0 \end{bmatrix}_{r\times n}.\\ \therefore G=P^{-1}\begin{bmatrix} I_r\\ 0 \end{bmatrix}_{m\times r},H=\begin{bmatrix} I_r & 0 \end{bmatrix}_{r\times n}Q^{-1}.\]

点击查看Frobenius不等式

Frobenius不等式:\(r(ABC)+r(B)\le r(AB)+r(BC).\)

证明：

构造分块矩阵:

\[ \begin{bmatrix} ABC & 0\\ 0 & B \end{bmatrix}. \]

作初等变换，

\[\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\O&I_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ABC&0\\0&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_{s}&O\\C&I_{t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}O&-AB\\BC&B\end{bmatrix}. \]

得到结论.

例题：已知 \(A^2=A\).
(1)证明 \(r(A)+r(I-A)=n\);
(2)假设 \(A\) 可对角化，证明\(r(A)=tr(A).\)

点击查看答案

由题意得
\(A(I-A)=0.\therefore r(A)+r(I-A)\le n.\) 又 \(r(A)>r(A(I-A)).\) (1)得证;
证明(2)：
幂等矩阵的特征值是 \(0\) 或 \(1\).
对 \(A\) 进行对角化，得到
$D=\begin{bmatrix}
I_r & 0\
0 & 0
\end{bmatrix}.\therefore \operatorname{tr}(D)=\operatorname{tr}(A)=r=\operatorname{rank}(A). $

3. 齐次线性方程组

• 齐次线性方程组有非零解的充要条件：\(\operatorname{r}(A)<n.\)

• 基础解系：\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\) 是 \(Ax=0\) 一组线性无关的解，并且 \(Ax=0\) 的任一解都可以由 \(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\) 线性表出.

  • 基础解系中的向量数量：\(n-r(A).\)

• 通解：\(c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots+c_n\eta_n.\)

例：求 \(F\) 上齐次线性方程组的通解.

\[\begin{cases} x_1-x_2+5x_3-x_4=0,\\ x_1+x_2+4x_3+3x_4=0,\\ 3x_1+x_2+9x_3+5x_4=0. \end{cases}\]

点击查看答案

1. 化为阶梯型矩阵

\[\begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 & -1\\ & 2 & -1 & 4\\ & & -4 & 0 \end{bmatrix}\]

2. 求基础解系：基础解析中有 \(1\) 个向量.

\[\begin{cases} x_1-x_2+5x_3=x_4,\\ 2x_2+-x_3=-4x_4,\\ -4x_3=0. \end{cases} \]

\[\eta=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T.\]

3. 通解 \(x=c\eta.\)

4. 构造齐次线性方程组证明秩相关问题：

例1：\(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵，\(B\) 是 \(n\times s\) 矩阵，\(AB=0\)，证明 \(r(A)+r(B)\le n.\)

例2：证明 \(r(A^TA)=r(A).\)

点击查看例1答案

\[AB=A\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_s \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}.\]

所以 $ Ab_i=0. $

\[r(B)=r(b_1,b_2,\cdots,b_s)\le n-r(A). \]

点击查看例2答案

一方面 \(Ax=0\) 的解都是 \((A^TA)x=0\) 的解；
另一方面 \(x^TA^TAx=0,\therefore (Ax)^T(Ax)=0,\therefore Ax=0\).
因此两个方程同解，进而基础解系个数相同.

5. 非齐次线性方程组

• 1.有解的条件：\(r(A)=r(A|b).\)

• 2.解的结构：该线性方程组的任意一个特解 和 对应齐次线性方程组的通解. 求特解时通常将自由变量赋值为 \(0\) .

例：\(A\in M_{m,n}(\mathbf{R})\)，若非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 总有解，证明 \(A\) 的行向量组线性无关.

点击查看答案

\[\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{bmatrix}\]

可以表示任意一个 \(m\) 维向量，因此 \(A\) 与

\[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\cdots,\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\]

是等价向量组.

七. 线性空间与线性变换

1. 线性空间的定义

• 定义加法和数乘，应满足八条性质.
• 基
  • 对于多项式空间 \(P_n[x]\)：基取 \(1, x, x^2, \dots, x^n\)，维数为 \(n+1\).
  • 对于矩阵空间：基可取 \(E_{ij}\)（只有 \((i,j)\) 位置为 1，其余为 0）.
  • 对于由向量组张成的子空间：极大无关组就是基.
• 坐标
  • 给定基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)，向量 \(\alpha\) 可表示为 \(\alpha=x_1\varepsilon_1+\dots+x_n\varepsilon_n\)，坐标 \((x_1,\dots,x_n)^T\)。

2. 过渡矩阵与坐标变换

已知两组基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 与 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)，有过渡矩阵 \(C\)，满足 \((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)C\).

• 设基 \(\alpha_i\) 到基 \(\beta_i\) 的过渡矩阵为 \(P\)，线性变换 \(T\) 在基 \(\alpha_i\) 下矩阵为 \(A\)，在基 \(\beta_i\) 下矩阵为 \(B\)，则 \(B=P^{-1}AP\).
• 若给出一组基 $ \beta:(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_i)$ 和线性变换 \(T\)，那么变换矩阵的列向量对应 \(T(\varepsilon_i)\) 在 \(\beta\) 下的坐标.

3. 线性空间

• 最小不变子空间：

\[\text{包含 }\alpha_1\text{ 的最小不变子空间}=\mathrm{Span}\{\alpha_1,\sigma(\alpha_1),\sigma^2(\alpha_1),\ldots\}. \]

• 维数：$$\dim(A\cup B)=\dim(A)+\dim(B)-\dim(A\cap B).$$

4. 施密特正交化、正交矩阵和QR分解

• 施密特正交化的目的：将欧式空间一组基改造为标准正交基.

步骤：

1. 正交化

\[\beta_1=\alpha_1, \\\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{（\beta_1,\beta_1）}\beta_1,\\\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,\cdots. \]

2. 单位化

\[\gamma_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|},\cdots. \]

• QR分解：正交矩阵 \(Q\) 和上三角矩阵 \(R\)（主对角线元素为正）
  • 求Q矩阵：同施密特正交化
  • 求R矩阵：由每个单位向量前的系数构成

例：\(A:\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)，作 \(A\) 的 \(QR\) 分解.

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\[\beta_1=\alpha_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix},\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}=\alpha_2-\frac{5}{2} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}.\]

所以

\[R= \begin{bmatrix} \sqrt2 & 0\\ 0 & \frac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\]

5. 正交投影矩阵和正交基

正交矩阵

• \(P^2=P\)
• \(P^T=P\)
• \(\operatorname{rank}(P)=\operatorname{trace}(P).\)
• 半正定
• 特征值为 \(0\) 或 \(1\).

到一维空间的投影

\[P_u = \frac{u u^T}{u^T u}. \]

到某一子空间的投影

\[P_W = A(A^T A)^{-1} A^T. \]

其中 \(A\) 由 \(W\) 的一组基构成.

标准投影矩阵

\[P_W = Q Q^T. \]

其中 \(Q\) 由平面的标准正交基构成.

例题：求平面\(x+y+z=0\)的投影矩阵

解题步骤：

1. 找平面的一组标准正交基：
   \(q_1= \frac 1{\sqrt 2}( 1, - 1, 0) ^T\).
   \(q_2=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)^T\).

2. \(Q=[q_1,q_2]\)

3. \(P=QQ^T\)

6. 正交补

\(N(A)\perp R(A^T).\) 根据正交的定义即可（两个子空间的每一组向量都正交）

设 \(W\) 是欧式空间 \(V\) 的子空间，则 \(V=W\oplus W^T,\dim V=\dim W+\dim W^T.\)

八. 特征值、特征向量与矩阵的相似

1. 代数重数和几何重数

• 几何重数：\(\{x|Ax=\lambda x\}\) 的维数、对应特征值 \(\lambda\) 的线性无关特征向量的维数.
• 代数重数：特征多项式中根的重数，所有特征值的代数重数之和 \(=n\).

2. 特征值和特征向量的计算

• 特征值：\(\det(A-\lambda I)=0.\)
• 特征向量：将每个特征值代入.

3. 特征多项式的性质

\(\prod_{i=1}^n\lambda_i=\det(A).\)
\(\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^n\lambda_i.\)

• 证明：分别对应行列式 \(\det(\lambda I-A)\) 常数项和 \(\lambda^{n-1}\) 项；再用特征值表示多项式: \(\prod_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)\)，利用代数基本定理，比较系数.

代数基本定理

4. 相似矩阵

线性变换在不同基下的矩阵：

• 如果有旧基下的矩阵 \(A\) 和新基下的矩阵 \(B\), 而 \(P\) 是新基到旧基的过渡矩阵，设新基下的一个向量 \(x\)，若要表示旧基下的坐标变换，则有
  \(A(Px)=P(Bx)\). 进而得到 \(B=P^{-1}AP.\)

相似矩阵的性质：

• \(A^m=P^{-1}B^mP.\)
• 对于一元多项式 \(f\), \(f(A) \sim f(B).\)
• 若 \(A_i\sim B_i\)，则 \(\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_s)\sim\operatorname{diag}(B_1,B_2,\cdots,B_s)\).
• 两个可逆矩阵相似，则他们的逆矩阵也相似.
• 相似不变量: 特征值，特征多项式，迹，行列式.

5. 相似对角化

前置：不同特征值对应的特征向量线性无关.

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思路：先证明 \(s=1\)，再利用归纳法推广到 \(s=n\).

• \(s=1\) 时显然成立.
• 假设 \(s=n-1\) 时结论成立，假设 \(s\) 情形有 $$k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_sx_s=0,\quad()$$
  那么$$k_1\lambda_1x_1+k_2\lambda_2x_2+\cdots+k_s\lambda_sx_s=0.\quad()$$
  用 \(\lambda_s\) 乘 \((*)\) 式两端，$$k_1\lambda_sx_1+k_2\lambda_2s_2+\cdots+k_s\lambda_sx_s=0.\quad()$$
  \((***)\) 式减去 \((*)\) 式，得$$k_1(\lambda_1-\lambda_s)x_1+k_2(\lambda_2-\lambda_s)x_2+\cdots+k_{s-1}(\lambda_{s-1}-\lambda_s)x_{s-1}=0.$$
  由于 \(s=n-1\) 时结论成立，所以$$k_i(\lambda_i-\lambda_s)=0.$$
  而 \(\lambda_i\not=\lambda_s\)，所以 \(k_i=0.\)

1. 可对角化的条件：

• 几何重数 = 代数重数
• \(n-r(A-\lambda_iI)=m_i\). (与上面等价)

2. 对角化的步骤

• 求特征值
• 检查几何重数和代数重数
• 对每个特征值找出 \(g_i\) 个线性无关的特征向量
  重要：不同特征值对应的特征向量自动线性无关，但同一个特征值对应的特征向量必须自己保证线性无关。
• 特征向量构成 \(P\), 特征值按对应顺序构成 \(\Lambda.\)

3. 实对称矩阵的正交对角化

特征向量需要正交化和单位化

九. 二次性与二次曲面

1. 二次型的定义

\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,\quad a_{ij}=a_{ji}. \]

矩阵表示：\(f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}.\)

2. 实对称矩阵的相合

相合：存在可逆矩阵 \(Q\) 使得

\[B=Q^TAQ. \]

那么 \(A \simeq B.\)

3. 二次型的标准型

• 主轴化方法（仅实二次型）：进行正交对角化，做可逆线性替换.
• 配方法
  • 技巧：对于缺少平方项目的二次型，做辅助变换添加平方项。
• 初等变换法：构造矩阵\(\begin{bmatrix} A\\ I \end{bmatrix}\)，做一次列变换就对前 \(n\) 行做相应初等行变换，则上方得到 \(\Lambda\)，下方得到 \(P\).

4. 惯性定理和规范型

• 惯性定理：

对于任意一个实二次型\(f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) (\(A\)为实对称矩阵),总存在可逆线性替换\(\mathbf{x}=C\mathbf{y}\)将其化
为规范形：

\[f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2 \]

其中：

• \(r=\operatorname{rank}(A)\): 二次型的秩(正平方项与负平方项总数)
• \(p:\) 正惯性指数(正平方项的个数)
• \(q=r-p\) :负惯性指数(负平方项的个数)
• \(p-q=2p-r:\) 符号差.
  数对 \((p,q)\) 由原二次型唯一确定，与所用的可逆线性替换无关.

• 分类数：所有 \(n\) 元实二次型按合同关系可以分为 \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\) 类.（对应 \(0\le r\le n,0\le p\le r\)）

5. 实二次性的正定性

• 正定二次型：对任意一个非零向量 \(\alpha\)，恒有 \(Q(\alpha)>0\). 注意：根据定义，若 \(r < n\)，则不是正定二次型！
  • 所有的特征值大于 \(0\).
  • 所有主子式、顺序主子式大于 \(0\).
  • 正惯性指数 \(p=n\).
  • 存在平方根:存在实可逆矩阵 \(B\text{,使得 }A=B^TB\).
• 半正定：
  • 特征值 \(\lambda_{i} \geq 0\)
  • 所有主子式 \(\geq 0\)（注意：顺序主子式 \(\geq 0\) 只是必要条件，不是充分条件）
  • 存在矩阵 \(B\)（不一定可逆）使 \(A = B^{T}B\)
  • 正惯性指数 \(p = r\)（秩）

题目常用判定方式：

若 \(Y=AX\)， 那么 \(f\) 正定当且仅当 \(A^TA\) 正定, 当且仅当 \(A\) 列满秩, 当且仅当 \(\det(A)\neq0.\)

6. 二次曲面的分类

类型	方程
椭球面	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
单叶双曲面	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
双叶双曲面	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\)
椭圆抛物面	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz (p\neq0)\)
双曲抛物面（马鞍面）	\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz (p\neq0)\)
二次锥面	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
柱面	根据两个变量情况判断

7. 曲面的判定与旋转

• 判定：化成规范型/或直接观察秩和正负惯性指数
• 旋转：绕轴旋转时，点到轴的距离不变.

公式（绕 z 轴旋转）：
曲线在 yOz 平面：\(f(y,z)=0\)，旋转曲面方程为 \(f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0\).