CF992C 概率数学

CF992C Nastya and a Wardrobe

对 \(x\) 进行 \(k\) 次操作。对于每一次操作，有 \(50 \%\) 的概率 \(x \gets 2x\)，否则 \(x \gets 2x - 1\)。求操作完后 \(2x\) 的期望得数。

推公式找规律。

操作次数	\(x\) 取值区间	简化
\(1\)	\([2x - 1, 2x]\)	\([2x - 1, 2x]\)
\(2\)	\([2 \times (2x - 1) - 1, 2 \times 2x]\)	\([2^2x - (2^2 - 1), 2^2x]\)
\(3\)	\([2 \times (2(2x - 1) - 1) - 1, 2 \times 2 \times 2x]\)	\([2^3x - (2^3 - 1), 2^3x]\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(k\)		\([2^kx - (2^k - 1), 2^kx]\)

（以上所有集合都只包括 自然数。）

可以发现，在第 \(i\) 步，\(x\) 平均 分布于 \([2^ix - 2^i + 1, 2^ix]\)，就相当于取平均数。在 \(k\) 步内，\(x\) 的期望就是

\[\begin{aligned} &\dfrac{(2^kx - 2^k + 1) + (2^kx)} 2 \\ =~ &\dfrac{2^{k + 1}x - 2^k + 1}2 \end{aligned} \]

题目取的是 \(2x\) 的期望，刚好把分母消掉。

保险起见，开 int128。GNU C++17 代码。

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最后我们请出万能 Python——

x, k = map(int, input().split()); print((0, (x * pow(2, k + 1, 10 ** 9 + 7) - pow(2, k, 10 ** 9 + 7) + 1) % (10 ** 9 + 7))[x != 0])

一行 AC。