P10393 数学 构造

为了方便，令 \(\operatorname{nxt}(x)\) 为 \(x\) 后一位的下标，即

\[\begin{cases} x + 1 &x < n \\ 1 &x = n \end{cases} \]

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根据题目，可以得出 \(a_i = 2w_i - a_{\operatorname{nxt}(i)}\)。

将 \(a_{\operatorname{nxt}(i)}\) 的式子递归代入 \(a_i\)，得

\[\begin{aligned} a_1 &= 2w_1 - 2w_2 + 2w_3 - \cdots - 2w_{n - 1} + 2w_n - a_1 \\ 2a_1 &= 2w_1 - 2w_2 + 2w_3 - \cdots - 2w_{n - 1} + 2w_n \end{aligned} \]

则有

\[a_1 = w_1 - w_2 + w_3 - \cdots - w_{n - 1} + w_n \]

对于上式中的 \(w_i\)，当 \(2 \nmid i\) 时系数为 \(+1\)，\(2 \mid i\) 时系数为 \(-1\)。由于 \(2 \nmid n\)，最后一项的系数一定为 \(+1\)。

先对 \(w\) 从小到大排序得到 \(p\)。由于 \(w'\) 和 \(w''\) 一定是 \(w\) 的重排列，很容易想出：

• 当要求 \(a_1\) 最大时，将 \(p\) 的前 \(\left\lfloor \dfrac n 2 \right\rfloor\) 位安排在下标为偶数的位置，使得减去的值最小；将 \(p\) 剩下的 \(\left\lfloor \dfrac n 2 \right\rfloor + 1\) 位安排在下标为奇数的位置，使得加上的值最大。

• 当要求 \(a_1\) 最小时，将 \(p\) 的后 \(\left\lfloor \dfrac n 2 \right\rfloor\) 位安排在下标为偶数的位置，使得减去的值最大；将 \(p\) 剩下的 \(\left\lfloor \dfrac n 2 \right\rfloor + 1\) 位安排在下标为奇数的位置，使得加上的值最小。

代码。