P10329 数学 期望

P10329 [UESTCPC 2024] Add

对于操作 \(x\)，选择 \(a_y\)，那么对期望的贡献为

\[\dfrac{2x(x - y)}{x - 1} \]

则操作 \(x\) 后对 \(a_1\) 期望的贡献为

\[E_x = \dfrac{\sum_{i = 1}^{x - 1} 2x(x - i)}{x - 1} \]

化简上式分子

\[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{x - 1} 2x(x - i) &= 2x \left[x(x - 1) - \sum_{i = 1}^{x - 1} i \right] \\ &= 2x \left[x(x - 1) - \dfrac 1 2 x(x - 1) \right] \\ &= x^2(x - 1) \end{aligned} \]

即

\[E_x = x^2 \]

代入上式，结合 平方和公式，最后 \(a_1\) 的期望为

\[\begin{aligned} E &= \sum_{i = 1}^{n} i^2 \\ &= \dfrac 1 6 x(x + 1)(2x + 1) \end{aligned} \]

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代码。

注意：由于最大的 \(n = 10^9\)，最大的 \(E\) 为 \(n^3\) 量级，将超过 int64 范围，所以使用 int128 来解决。