计算机组成原理第二章数据的表示和运算

第二章数据的表示和运算

数制与编码

进制转换

使用二进制的原因

二进制与八进制、十六进制的转换

各种进制的书写方式

十进制转换为任意进制

整数部分

\[\begin{align} &十进制转换二进制\\ &如(75)_{10}\\ &\frac{75}{2}=37……1\space K_0\\ &\frac{37}{2}=18……1\space K_1\\ &\frac{18}{2}=9……0\space K_2\\ &\frac{9}{2}=4……1\space K_3\\ &\frac{4}{2}=2……0\space K_4\\ &\frac{2}{2}=1……0\space K_5\\ &\frac{1}{2}=0……1\space K_6\\ &K_0K_1K_2K_3K_4K_5K_6=1101001 \end{align} \]

小数部分

\[\begin{align} &十进制转换二进制\\ &如(75.3)_{10} \space\space小数部分=0.3\\ &0.3*2=0.6=0+0.6 \space K_{-1}\\ &0.6*2=1.2=1+0.2 \space K_{-2}\\ &0.2*2=0.4=0+0.4 \space K_{-3}\\ &0.4*2=0.8=0+0.8 \space K_{-4}\\ &0.8*2=1.6=1+0.6 \space K_{-5}\\ &……\\ &0.3D=0.01001……B\\ &小数无法准确表述\\ \end{align} \]

十进制转换二进制（拼凑法）

总结

BCD码（Binary-Coded Decimal）

修正数据

\[\begin{align} &(9+9)_{10}\\ &(9)_{10}\rightarrow (1001)_2\\ &(9+9)_{2}=1001 1001\\ &1001\\ +&1001\\ -&---\\ 1&0010\\ &10010超出了8421码中的1010-1111\\ &+(6)_{10}\Leftrightarrow+(0110)_2修正\\ 1&0010\\ +&0110\\ -&---\\ 1&1000\\ \end{align} \]

相加结果在合法范围(1010~1111)内，不需要修正

其他编码

总结

字符与字符串

ASCII码

可印刷字符：32~126

其余为控制、通信字符

大写字母：65（0100 0001）~ 90（0101 1010）

小写字母：97（0110 0001）~ 122（0111 1010）

汉字的表示和编码

输入：输入编码

输出：汉字字形码

字符串

大端模式&小端模式

总结

奇偶校验码

校验原理

\[\begin{align} &当d=1时，无检错能力；当d=2时，有检错能力；当d\geq3时，若设计合理，可能具有检错纠错能力（海明码）\\ \end{align} \]

奇偶校验码

例题

\[\begin{align} &奇校验：(1)1001101~~(0)1010111\\ &偶校验：(0)1001101~~(1)1010111\\ \end{align} \]

只能发现数据代码中奇数位的出错情况，但不能纠错

总结

海明码

简单思路

求解步骤

总结

循环冗余校验码

基本思想

校验步骤（模二除）

\[\begin{align} &G(x)=x^3+x^2+1=1*x^3+1*x^2+0*x^1+1*x^0\rightarrow 1101\\ &~~~~~~110101\\ &-------------------\\ 1101~|&101001000\\ &1101\\ &~~1110\\ &~~1101\\ &-------------------\\ &~~~~0111\\ &~~~~0000\\ &-------------------\\ &~~~~~~1110\\ &~~~~~~1101\\ &-------------------\\ &~~~~~~~~0110\\ &~~~~~~~~0000\\ &-------------------\\ &~~~~~~~~~~1100\\ &~~~~~~~~~~1101\\ &-------------------\\ &~~~~~~~~~~~~001\rightarrow校验位\\ &对应的CRC码为101001~~001 \end{align} \]

余数为001、010时并不能确定是哪一位出错了

此时是信息位过多，降低信息位就可以解决问题

\[\begin{align} &K个信息位，R个校验位，若生成多项式选择得当，且2^R\geq K+R+1，则CRC码可纠正1位错\\ \end{align} \]

总结

定点数的表示

无符号数

通常只有无符号整数，而没有无符号小数

\[\begin{align} &1001100B\\ &=1*2^7+1*2^6+0*2^5+0*2^4+1*2^3+1*2^2+0*2^1+0*2^0\\ &=156D\\ \end{align} \]

有符号数的定点表示

原码

用尾数表示真值部分的绝对值，符号位“0/1”对应“正/负”

若机器字长为n+1位，则尾数占n位

反码

若符号位为0，则反码与原码相同

若符号位为1，则数值位全部取反

反码是原码转变为补码的一个中间状态

补码

正数的补码=原码

负数的补码=反码末位+1（要考虑进位）

\[\begin{align} &设机器字长为8位\\ &[+0]_{原}=0000~0000\\ &[+0]_{反}=0000~0000\\ &[+0]_{补}=0000~0000\\ &\\ &[-0]_{原}=1000~0000\\ &[-0]_{反}=1111~1111\\ &[-0]_{补}=1~0000~0000\\ &由于机器字长为8位，进位丢弃\\ &[-0]_{补}=0000~0000\\ \end{align} \]

逆向

将负数补码转回原码的方法相同：尾数取反，末尾+1

\[\begin{align} &[-19]_{原}=1001~0011\\ &[-19]_{反}=1110~1100\\ &[-19]_{补}=1110~1101\\ &[-19]_{原}=1001~0010+0000~0001=1001~0011\\ \end{align} \]

移码

补码的基础上将符号位取反

移码只能用于表示整数

几种码表示定点整数

练习

\[\begin{align} &假设机器字长为8位\\ &定点整数x=50\\ &[+50]_{原}=0011~0010\\ &[+50]_{反}=0011~0010\\ &[+50]_{补}=0011~0010\\ &[+50]_{移}=1011~0010\\ &定点整数x=-100\\ &[-100]_{原}=1110~0100\\ &[-100]_{反}=1001~1011\\ &[-100]_{补}=1001~1100\\ &[-100]_{移}=0001~1110\\ \end{align} \]

知识回顾

各种码的作用

用加法代替减法

表盘为例

\[\begin{align} &10+9=19\\ &19\%12=7\\ &相当于求余数\\ \end{align} \]

模运算的性质

可以说在模12的情况下上述数字等价

其中-3和9互为补数，二者绝对值之和等于模

\[\begin{align} 有符号数&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~无符号数\\ 14~~~~~~&0000~1110~~~~~~~~14\\ -14~~~+&1000~1110~~~~~~142\\ -----&-----------\\ 0~~~~~~&1001~1100~~~~~~156\\ &模-a的绝对值=a的补数\\ &0000~1110\\ -&0000~1110\\ -----&-----------\\ &0000~0000\\ &\\ &模2^8-0000~1110\\ &1~0000~0000\\ -&~~~0000~1110\\ -----&-----------\\ &~~~1111~0010\\ -----&-----------\\ &~~~0000~1110\\ +&~~~1111~0010\\ -----&-----------\\ &~1~0000~0000\\ \end{align} \]

\[\begin{align} &求-66的补码\\ &[-66]_{原}=1100~0010\\ &[-66]_{反}=1011~1101\\ &[-66]_{补}=1011~1110\\ &[+88]_{原}=0101~1000\\ &1101~1000\\ +&0011~1110\\ --&-----------------\\ 1~&0001~0110~~~~~~22D\\ \end{align} \]

移位运算

算术移位

原码的算术移位

\[\begin{align} &[+20]_{原}=0001~0100\\ &{左移一位}=0010~1000=+40D\\ \end{align} \]

反码的算数移位

补码的算数移位

\[\begin{align} &[-20]_{原}=1001~0100\\ &[-20]_{反}=1110~1011\\ &[-20]_{补}=1110~1100\\ &左移一位=1010~1000\\ &[-20]_{原}=1001~0100\\ &[-20]_{反}=1110~1011\\ &[-20]_{补}=1110~1100\\ &右移一位=1111~0110\\ \end{align} \]

逻辑移位（针对无符号数）

应用举例

循环移位

总结

加减运算

原码的加减运算

补码的加减运算

\[\begin{align} &A=15,B=-24,C=124,求[A+C]_{补}[B-C]_{补}\\ &[A]_{原}=0000~1111\\ &[A]_{反}=0000~1111\\ &[A]_{补}=0000~1111\\ &[B]_{原}=1001~1000\\ &[B]_{反}=1110~0111\\ &[B]_{补}=1110~1000\\ &[C]_{原}=0111~1100\\ &[C]_{反}=0111~1100\\ &[C]_{补}=0111~1100\\ &[A+C]_{补}\\ &0000~1111\\ +&0111~1100\\ ----&------------\\ &1000~1011\\ &1111~0100\\ &1111~0101~~~~~~-117D\\ &[B-C]_{补}\\ 1&~0000~0000\\ -&~0111~1100\\ ----&-------------\\ &~1000~0100\\ +&~1110~1000\\ ----&-------------\\ &~0110~1100\\ &~0110~1100\\ &~0110~1100~~~~~~+108D\\ \end{align} \]

出现了溢出

溢出判断

一位符号逻辑表达式

进位判断

双符号位

符号扩展

整数

小数

总结

乘法运算

手算乘法（十进制）

手算乘法（二进制）

原码一位乘法

实现方法：先加法再移位，重复n次

（0）乘法进行前ACC置0

（1）第一步加法

加法

移位

（2）第二步加法

加法

移位

（3）第三步加法

加法

移位

（4）第四步加法

加法

移位

乘法结果

修正符号位

原码一位乘法（手算模拟）

\[\begin{align} &高位部分积~~~~ ~~~~低位部分积~~~~ ~~~~ ~~~~说明\\ &~~00.0000~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ 101\underline{1}|~~~~ ~~~~ 低位=1~~~~ +|x|\\ +|x|&~~00.1101~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~|\\ ----&---------------------\\ &~~00.1101\\ 右移&~~00.0110~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ 110\underline{1}|1~~~~ ~~~ 低位=1~~~~ +|x|\\ +|x|&~~00.1101~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~|\\ ----&---------------------\\ &~~01.0011\\ 右移&~~00.1001~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ 111\underline{0}|11~~ ~~~低位=0~~~~ +0 \\ +&~~00.0000\\ ----&---------------------\\ &~~00.1001\\ 右移&~~00.0100~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ 111\underline{1}|011 ~~~低位=1~~~~ +|x| \\ +|x|&~~00.1101\\ ----&---------------------\\ &~~01.0001\\ 右移&~~00.1000~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ 111\underline{1}|1011 ~右移部分积和乘数全部移出 \\ &|x|=00.10001111\\ &x*y=-0.10001111\\ \end{align} \]

补码的一位乘法

辅助位

手算模拟

\[\begin{align} &高位部分积~~~~ ~~~~低位部分积~~~~ ~~~~ ~~~~说明\\ &~~00.0000~~~~ ~~~~ ~~~~ 0.101\underline{1}|0~~~~ ~~~~ ~~~~起始情况\\ +[-x]_补&~~00.1101~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ Y_4Y_5=10,Y_5-Y_4=-1,+[-x]_{补}\\ ----&-----------------------------\\ &~~00.1101\\ 右移&~~00.0110~~~~ ~~~~ ~~~~ 10.10\underline{1}|10~~~~ ~~~~ ~~~~右移部分积和乘数\\ +0&~~00.0000~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ Y_4Y_5=10,Y_5-Y_4=0,+0\\ ----&-----------------------------\\ &~~00.0110\\ 右移&~~00.0011~~~~ ~~~~ ~~~~ 010.1\underline{0}|110~~~~ ~~~~ ~~~~右移部分积和乘数\\ +[x]_补&~~11.0011~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ Y_4Y_5=01,Y_5-Y_4=1,+[x]_补\\ ----&-----------------------------\\ &~~11.0110\\ 右移&~~11.1011~~~~ ~~~~ ~~~~ 0010.\underline{1}|0110~~~~ ~~~~ ~~~~右移部分积和乘数\\ +[-x]_补&~~00.1101~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ Y_4Y_5=10,Y_5-Y_4=-1,+[-x]_补\\ ----&-----------------------------\\ &~~00.1000\\ 右移&~~00.0100~~~~ ~~~~ ~~~~ \underline{\underline{0001}}\underline{0}.|10110~~~~ ~~~~ ~~~~右移部分积和乘数\\ +[x]_补&~~11.0011~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ Y_4Y_5=01,Y_5-Y_4=1,+[x]_补\\ ----&-----------------------------\\ &~~11.0111\\ &[x*y]_补=11.0111~0001\\ &x*y=-0.1000~1111\\ \end{align} \]

除法运算

手算除法（十进制）

手算除法（二进制）

恢复余数法

原码除法：恢复余数法

（0）初始

（1）第一步

上商

求余数

判断上商是否正确

01011上商后得11110，相减结果为负，应上商0

修正

逻辑左移

（2）第二步

上商

求余数

判断上商是否正确

相减结果为正数，上商正确

逻辑左移

（3）第三步

上商

求余数

判断上商是否正确

上商无误

逻辑左移

（4）第四步

上商

求余数

判断上商是否正确

相减结果小于0，上商有误

修正

逻辑左移

（5）第五步：最后一步除法

上商&求余数

判断上商是否正确

最后一步除法，如果上商求余数结果小于0.还需要继续恢复余数

（6）最后一步

\[\begin{align} &余数=ACC*2^{-n}\\ \end{align} \]

原码除法（手算）

加减交替法

默认规定

被除数要小于除数，否则硬件电路无法运行，如果被除数大于除数，商的结果为大于1的数将无法表示

通过第一步的商来判断被除数与除数的大小关系

第一步商的结果一定为负值，如果为正值说明被除数比除数大，硬件电路会立即停止运算

补码除法

加减交替法

总结

C语言中的强制类型转换

数据的存储和排列

大小端模式

边界对齐

浮点数的表示

浮点数尾数的规格化

左规&右规

规格化浮点数的特点

总结

IEEE754 浮点数标准

\[\begin{align} &IEEE754规定偏置值=2^{n-1}\\ \end{align} \]

IEEE 754 标准

\[\begin{align} &(-0.75)_{10}=(-0.11)_2=(-1.1)*2^{-1}\\ &数符=1\\ &尾数部分=.1000~0000……(隐含最高位1)\\ &阶码真值=-1\\ &单精度浮点型偏移量=127D\\ &移码=阶码真值+偏移量=-1+111~1111=0111~1110(凑足8位)\\ \end{align} \]

总结

浮点数的运算

浮点数的加减运算

\[\begin{align} &(0)转换格式\\ &5D=101B,\frac{1}{256}=2^{-8},X=-101*2^-8=-0.101*2^{-5}=-0.101*2^{-101}\\ &59D=111011,\frac{1}{1024}=2^{-10},Y=111011*2^{-10}=0.111011*2^{-4}=0.111011*2^{-100}\\ &X: &[阶码]_{原}=-101\\ &[阶码]_{补}=1011\\ &阶码双符号位补码：11011\\ &[尾数]_{原}=-0.101\\ &[尾数]_{补}=1.011\\ &尾数双符号位补码：11.011\\ &X=11011,11.011000000\\ &Y: &[阶码]_{原}=-100\\ &[阶码]_{补}=1100\\ &阶码双符号位补码：11100\\ &[尾数]_{原}=0.111011\\ &[尾数]_{补}=0.111011\\ &尾数双符号位补码：00.111011\\ &X=11100,00.111011000\\ &浮点数加减法运算步骤\\ &(1)对阶\\ &小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码+1\\ &[1]求阶差：[\Delta E]_补=||E_X|_原+|E_Y|_补|=11011+00100=11111\\ &\Delta=-1\\ &[2]对阶：X:11011,11.011000000\rightarrow 111011,11.1011000000\\ &X=-0.0101*2^{-100}\\ &(2)尾数减法\\ &-Y=11100,11.000101000\\ &11011,11.011000000\\ +&11100,11.000101000\\ ---&----------------------------\\ &10.110001000\\ &X_Y=11100,10.110001000\\ &(3)规格化\\ &X_Y=11100,10.110001000\rightarrow11101,011000100\\ &(4)舍入 \\ &无需舍入\\ &(5)判断溢出\\ &常阶码，无溢出，结果真值为2^{-3}*(-0.1001111)_2 \end{align} \]