差分约束

• 差分约束是一种特殊的\(\large N\)元一次不等式组。它包含\(\large N\)个变量以及\(\large M\)个约束条件，每个约束条件都是由两个变量作差构成的。形如：

  \[\Large X_i - X_j \le c_k \]

  ，其中\(\large c_k\)是常数（可以是非负数，也可以是负数），\(\large 1 \le i,j \le N\)，\(\large 1 \le k \le M\)

  我们要解决的问题就是：求一组解

  \[\Large X_1 = a_1,X_2 = a_2,\dots,X_N = a_N \]

  ，使得所有的约束条件都得到满足。

• \[\Large X_i - X_j \le c_k \]

  \(\Large \Rightarrow\)

  \[\Large X_i \le X_j + c_k \]

  这与单源最短路中的三角不等式

  \[\Large dis[y] \le dis[x] + z \]

  十分相似。

  因此，可以把每个变量\(\large X_i\)看作有向图中的一个节点\(\large i\)，对于每个约束条件

  \[\Large X_i - X_j \le c_k \]

  从节点\(\large j\)向节点\(\large i\)连一条长度为\(\large c_k\)的有向边。

• 注意到如果\(\large {a_1,a_2,\dots,a_N}\)是一组解，那么对于任意的常数\(\Delta\)，\(\large {a_1 + \Delta},\dots,a_N + \Delta\)显然也是一组解(作差后\(\Delta\)恰好被消掉)。所以不妨先求一组负数解，然后再增加一个0号节点，令\(\large X_0 = 0\)，这样一来，就多了\(\large N\)个形如

  \[\Large X_i - X_0 \le 0 \]

  的约束条件，应该从0号节点向每个节点\(\large i\)连一条长度为0的有向边。

• 设\(\large dis[0] = 0\)，以0为起点求单源最短路。若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解。否则，\(\large X_i = dis[i]\)就是差分约束系统的一组解。

• 在某些题目中，约束条件形如

  \[\Large X_i - X_j \ge c_k \]

  我们仍然可以从\(\large j\)到\(\large i\)连一条长度为\(\large c_k\)的有向边，只是改为计算单源最长路，若图中有正环也无解。当然也可以把约束条件改为

  \[\Large X_j - X_i \ge -c_k \]

  再按照单源最短路进行计算。