BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

思路

要写这道题，需要用到一个神奇的定理：

axmodm=aϕ(m)+xmodϕ(m)modm$$a^x\mathrm{mod}m=a^{\varphi (m)+x\mathrm{mod}\varphi (m)}\mathrm{mod}m$$

我们设f(x)=222⋯modx$f(x)=2^{2^{2^{\cdots }}}\mathrm{mod}x$，则

f(x)=2f(ϕ(x))+ϕ(x)modx$$f(x)=2^{f(\varphi (x))+\varphi (x)}\mathrm{mod}x$$

这样，我么就可以递归求解f(x)$f(x)$。

容易证明：f(x)$f(x)$中x$x$每次会除以2$2$，因此时间复杂度为O(Tp–√logp)$O(T\sqrt{p}\log p)$。

代码

#include <cstdio>

int t,p;

inline int phi(int x)
{
  int res=x;
  for(register int i=2; i*i<=x; ++i)
    {
      if(x%i==0)
        {
          res=(res/i)*(i-1);
          while(x%i==0)
            {
              x/=i;
            }
        }
    }
  if(x!=1)
    {
      res=(res/x)*(x-1);
    }
  return res;
}

inline int quickpow(int a,int b,int mo)
{
  int res=1;
  while(b)
    {
      if(b&1)
        {
          res=(1ll*res*a)%mo;
        }
      a=(1ll*a*a)%mo;
      b>>=1;
    }
  return res;
}

int f(int x)
{
  if(x==1)
    {
      return 0;
    }
  int ph=phi(x);
  return quickpow(2,f(ph)+ph,x);
}

int main()
{
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
    {
      scanf("%d",&p);
      printf("%d\n",f(p));
    }
  return 0;
}