路径压缩优化并查集的时间复杂度

路径压缩优化并查集大家一定很熟练了，那么它的复杂度是多少呢？$O(m\alpha(n))$？

的确，很多人都是这么说的，但是事实上它的复杂度是$O(m\log_{1+m/n}n)$的，并且能找到一种方法卡到这样的复杂度。

要卡并查集，首先要构造一种树——二项树。这种二项树还与普通的不太一样。

定义：在给定$j$的情况下，二项树$T_k$定义如下：

• 若$k\leq j$，$T_k$是一个点。
• 若$k>j$，$T_k$是$T_{k-1}$的根结点增加一棵$T_{k-j}$的子树。

这棵树非常有意思，我们可以展开$T_{k-j}$，接着展开$T_{k-2j}$……

另外，也可以展开$T_{k-1}$，接着展开$T_{k-2}$……

容易发现，图5看起来像图4的路径压缩之后的结果，但是不完全一样。

如果首先按照图5的方式展开$j$棵子树，再按图4展开，可以得到

此时，如果在根节点上再加一个点，$j$次访问$T_1$到$T_j$，那么路径压缩后可以得到图5外加一个点作为根的儿子。

也就是说，这棵二项树路径压缩后约等于没有路径压缩……只是将原来作为根结点父亲的那个点变成了儿子。

至于$T_k$的点数，通过数学归纳法可以发现不会超过$(j+1)^{k/j-1}$个。

假设$m\geq n$，令$j=\frac{m}{n},i=\log_{j+1}\frac{n}{2}+1,k=ij$，那么$T_k$的点数不超过$\frac{n}{2}$。接下来做$\frac{n}{2}$组操作，每次加入一个点作为根结点的父亲，然后对$T_1$到$T_j$逐个查询，每次查询的长度是$i+1$，同时查询的次数显然不超过$m$。因此总操作次数为$\frac{n}{2}j(i+1)$，即$O(m\log_{1+m/n}n)$。

图片取自康复计划#4 快速构造支配树的Lengauer-Tarjan算法。