【动态规划】——斐波那契数列

动态规划

如何列出正确的状态转移方程：

1. 确定base case
2. 确定“状态"，也就是原问题和子问题中的变量
3. 确定选择，也就是导致“状态”产生变化的行为
4. 明确 dp 函数 / 数组的定义

动态规划的暴力求解阶段就是回溯法。只有有的问题可以通过巧妙的定义，构造出最优子结构，找出重复子问题，可以用DP table或者“备忘录”优化，将递归树大幅剪枝，这就是动态规划的解法。——先找出动态转移方程，再穷举“状态”

而回溯法，就是穷举。

斐波那契数列

1. 暴力递归

   int fib(int N){
   	if(N == 0) return 0;
   	if(N == 1 || N == 2) return 1;
   	return fib(N - 1) + fib(N - 2);
   }
   

   时间复杂度O(2^n)

2. 带备忘录的递归解法——自顶向下

   每次算出某个子问题的答案后别返回，先将其记到"备忘录"里再返回；每次遇到一个子问题先去备忘录里查

   • 使用数组当“备忘录”
   • 哈希表（字典）

   Integer[] memo;
   public int fib(int n) {
       memo = new Integer[n+1];
       return recursive(n);
   }   
   private int recursive(int num){
       if(memo[num]!=null) return memo[num];
       if(num==0) return 0;
       if(num==1) return 1;
       return memo[num] = ( fib(num-1)+fib(num-2));
   }
   

3. dp数组的迭代解法——自底向下

   public int fib(int n) {
       if(n == 0) return 0;
       if(n == 1 || n == 2) return 1;
       int[] f= new int[n+1];
       f[0] = 0;
       f[1]= 1;
       for(int i = 2;i<=n;i++) 
           f[i] =f[i-1]+f[i-2];
       return f[n];
   }
   

   ​

4. 优化DP表，两个状态

   int fin(int N){
       if(N == 0) return 0;
       if(N == 2 || N == 1) return 1;
       int prev = 1,curr = 1;
       for(int i = 3;i <= N;i++){
           int sum = prev + curr;
           prev = curr;
           curr = sum;
       }
       return curr;
   }