交互题乱做

感觉自己智商太低，来做交互题。

36th Petrozavodsk Programming Camp Day 8 A

有一个 \(n\times n\) 的正方形，左下角 \((0,0)\)，右上角 \((n,n)\)。正方形里（含边界）的某整点上有一只机器人。
你可以每次给出一个严格在正方形外的点 \((x,y)\)，会返回 \((x,y)\) 和机器人的直线距离的平方。每次询问后由机器人任选上下左右的一个方向移动 \(1\)。
确定机器人的初始位置。
\(n=100\)，询问点与正方形的切比雪夫距离不超过 \(1000\)，询问次数不超过 \(4\)

题解：
其实问两次就够了。

1. 问 \((2n+1,n)\)，然后枚举正方形内所有点，标记出符合条件的；
2. 问 \((n+1,-1)\)，然后枚举正方形内所有点，找出符合这次的条件且四周有标记的。

容易证明这样可以找出唯一点。

2021-03-18 省选模拟赛 B

通信题，Alice 将对 Bob 进行若干次询问。
每次 Alice 想好两个不超过 \(n\) 且互不相同的正整数 \(x,y\)，从 \(x,y\) 中选一个数 \(z\) (\(z=x\) 或 \(z=y\)) 给 Bob，并告诉 Bob 一个正整数 \(k\)。
每次 Bob 得到 \(z\) 和 \(k\) 后，要确定 \(z=x\) 还是 \(z=y\)。
帮助 Alice 决定每次的正整数 \(k\)，帮助 Bob 根据询问的 \(k\) 和 \(z\) 确定 \(z=x\) 还是 \(z=y\)。
\(n=920\)，要求 \(1\le k\le 12\)

题解：
考虑 Bob 是拿到 \(z\)，并且根据获得的 \(k\) 给出 \(0\) 或 \(1\)，即构造函数 \(f(z,k)=0/1\)。
注意到所有的数是等价的，所以猜想对于一个 \(z\)，使 \(f(z,k)=0\) 和 \(f(z,k)=1\) 的 \(k\) 的个数可能要一样多。
由于对于任意数对 \((x,y)\)，都要存在一个 \(k\) ，使得 \(f(x,k)\ne f(y,k)\)，不然无法分辨这对 \(x\) 和 \(y\)。

于是我们想到这样一个做法：
对每个 \(z\)，构造一个 \(12\) 位 01 串，其中 \(6\) 位是 0，\(6\) 位是 1，且不同的 \(z\) 对应不同的 01 串。
注意到这样的 01 串有 \(\binom{12}6=924\) 个，可以通过。

LOJ 2841

已知桌面上有 \(n\) 本书从左往右排成一排，编号为 \(1 \sim n\)。
图书管理员每次可以取走连续的若干本书。你每次可以向交互库询问一个编号集合 \(S\) ，交互库会返回图书管理员最少多少次把所有编号在 \(S\) 中的书取走。
要求通过询问得出这 \(n\) 本书编号的顺序，由于左右顺序无法通过询问得出，只要得到从左往右或从右往左依次的编号即可。
\(n \le 1000\)，询问次数限制 \(20000\) 次

我们设相邻的书有连边。
对于 \(u\notin S\)，通过询问 \(S\) 和 \(S\cup{u}\) 可以得到 \(u\) 有多少条边连到 \(S\) 内。
可以先通过 \(n\) 次询问问出链的一端的编号，然后考虑每次怎么问出下一个点。
二分。假设我们已经知道下一个点在 \([l,r]\) 中，\(\lfloor\frac{l+r}2\rfloor=m\)，那么我们可以用上面的方法两次问出，\(u\) 除了已经确定的边以外，有多少条边连到 \([l,m]\) 里。因此二分可行。
问出每个点的下一个点就问出了一个顺序，询问次数 \(O(n\log n)\)。
但是这样的话询问次数应该会超一点，考虑有些区间被询问了多次，把它记忆化下来就好了。
\(n=1\) 要判一下。

2021-05-07 NOI 模拟赛 C

\(d\) 维空间有一个点，这个点的每维坐标都是 \([0,r]\) 内的整数。你要通过询问找出这个点。
你每次可以询问一个点，要求询问点的每维坐标也都是 \([0,r]\) 内的整数。返回一个 bool 值表示 询问点到所求点的切比雪夫距离是否小于上一次的距离。
\(d\le 500,r\le 10^9\)，询问次数不超过 \(50000\)

假设答案每维坐标都大于 \(0\)，那么令初始点为 \(R=(1,1,\cdots,1)\)，然后逐步往大调整得到答案。

注意到切比雪夫距离为每一维坐标差绝对值的最大值，如果我们知道哪几维取到了这个最大值，那么这几维就是影响答案的。我们尝试把这几维坐标增大一些（也就是使这几维坐标差绝对值减小），看看增大多少后会出现新的最大值维度。
重复 \(O(d)\) 次后所有维度坐标差绝对值就相等了，可以轻松得到答案。

怎么找出哪几维取到了最大值？整体二分。

而对于答案某维坐标恰为 \(0\) 的情况。最后调整即可。

询问次数 \(O(d\log d+d\log r)\)。