二维随机变量

二维随机变量

引言

假设你是Bob，你很喜欢在一个平面上丢一个小球。

你对这个活动非常喜欢，以至于你想要研究任何有关它的事情。

有一天，你想知道它落在 \(\{(X,Y)|X\le x,Y\le y\}\) 的概率。这时，你发现一维随机变量已经没办法表示其概率了……

二维随机变量与联合分布函数

二维随机变量

不难注意到，如果这个平面的形状不是很规整的话，X和Y不能看作独立的两个变量。

那么，我们有定义：

设随机试验的样本空间为 \(\Omega\)，在同一个样本空间上定义两个实值随机变量：

\[X:\Omega\rightarrow\mathbb R \]

\[Y:\Omega\rightarrow\mathbb R \]

那么有序对

\[(X,Y):\Omega\rightarrow\mathbb R^2 \]

称为二维随机变量，也称二维随机向量。

联合分布函数

注意到，一维随机变量的分布函数所取的范围是数轴上某一点以及左侧

那么不难猜想，二维随机变量，只需要取平面上某一点左下角的区域就行了？

于是，我们定义：

\[F(x,y)=P(X\le x,Y\le y) \]

为二维随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数

那么，这个函数也会满足一些性质。类似于一维随机变量，二维随机变量满足：

性质一：取值范围

\[0\le F(x,y)\le1 \]

因为分布函数本质上是概率。

性质二：对每个变量分别单调不减

固定 \(y\)，若 \(x_1<x_2\)，则：

\[F(x_1,y)\le F(x_2,y) \]

同样，固定 \(x\)，若 \(y_1<y_2\)，则：

\[F(x,y_1)\le F(x,y_2) \]

因为随着区域扩大，概率不会减小。

性质三：右连续性

固定 \(y\)：

\[\lim_{h\to0^+}F(x+h,y)=F(x,y) \]

固定 \(x\)：

\[\lim_{h\to0^+}F(x,y+h)=F(x,y) \]

性质四：边界极限

\[\lim_{x\to-\infty}F(x,y)=0 \]

\[\lim_{y\to-\infty}F(x,y)=0 \]

并且：

\[\lim_{x,y\to+\infty}F(x,y)=1 \]

这里最后一个式子表示两个坐标同时趋向正无穷。

性质五：二维矩形概率非负

这是非常重要、容易遗漏的一条性质。

对于 \(a<b,c<d\)，有：

\[\boxed{ F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge0 } \]

它不仅是一个计算公式，也是判断一个函数能否成为二维联合分布函数的重要条件。

注意：二维分布函数分别对 \(x,y\) 单调不减，并不足以保证它是合法的联合分布函数，还需要满足矩形概率非负等条件。

然后，想要取一个区域的概率，很显然差分一下就行。

二维离散型随机变量

依旧苦命鸳鸯

注意到，如果二元对 \((X,Y)\) 只有有限个，那么称这样的随机变量是二维离散型随机变量

联合概率质量函数

我们称 \(p_{i, j}=P(X=x_i,Y=y_j)\) 为此二维随机变量的联合概率质量函数。

离散型的边际分布和边际分布函数

我们有的时候，只想知道其中一维的分布情况，另一维并不关心。那么这个时候，我们定义：

对于X有：

\[p_X(x_i)=\sum_{j}p_{i,j} \]

对于Y有：

\[p_Y(y_j)=\sum_{i}p_{i,j} \]

离散型联合分布函数

这也是很好定义的：

\[F(x,y) = \sum_{x_i\le x}\sum_{y_j\le y}p_{i, j} \]

离散型条件概率函数

我们定义

\[P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} \]

为 \(X\) 在 \(Y=y_j\) 下的条件概率函数。

二维连续型随机变量

请输入文本

接下来会有大量的有关二元积分的公式

联合概率密度函数

我们称，如果存在一个非负可积函数 \(f(x, y)\)，满足：

\[F(x, y)=\int_{-\infin}^{x}\int_{-\infin}^{y}f(u,v)\,du\,dv \]

那么这个函数f被我们称为联合概率密度函数

和一维连续型随机变量一样：

\[f(x,y)\ne P(X=x,Y=y) \]

对于具有联合密度的二维随机变量：

\[P(X=x,Y=y)=0 \]

但密度函数在某一点可以大于零，甚至大于一。

然后和他的难兄难弟一起，该有啥有啥，只不过变一变格式而已。

连续型的边际分布和边际分布函数

我们有的时候，只想知道其中一维的分布情况，另一维并不关心。那么这个时候，我们定义：

对于X有：

\[f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)\,dy \]

对于Y有：

\[f_Y(y)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)\,dx \]

判定随机变量独立性

在二维随机变量中，判断 \(X,Y\) 是否独立，本质上就是判断它们的联合分布能否分解为两个边缘分布的乘积。

不过，根据题目给出的是分布函数、概率质量函数还是概率密度函数，判断方法会有所不同。

对于两个随机变量 \(X,Y\)，如果对于任意实数 \(x,y\)，都有：

\[\boxed{F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)} \]

那么称 \(X,Y\) 相互独立。

其中：

• \(F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\)：联合分布函数。
• \(F_X(x)=P(X\le x)\)：\(X\) 的边缘分布函数。
• \(F_Y(y)=P(Y\le y)\)：\(Y\) 的边缘分布函数。

直观来说，独立意味着：知道 \(X\) 的取值情况，不会改变 \(Y\) 的概率分布，反之亦然。

不过，不是只要满足等式关系就能满足独立性。

还记得开头说过的话吗？

“不难注意到，如果这个平面的形状不是很规整的话，X和Y不能看作独立的两个变量。”

我们注意到，如果对于某一维变量，取两个值，分别对应的另一维的变量不完全相同，那么这一定是不独立的。

换句话说，也就是当最终的二维随机变量的支持集（样本空间）不等于两个随机变量支持集的笛卡尔积，那么它们即便满足上面的等式也不独立。

二维随机变量函数的分布

这部分是二维随机变量中计算技巧最集中的内容之一。

假设：

\[Z=g(X,Y) \]

我们希望求 \(Z\) 的概率分布。

核心思路是：

\[F_Z(z)=P(Z\le z) \]

也就是：

\[F_Z(z)=P(g(X,Y)\le z) \]

如果 \((X,Y)\) 存在联合密度：

\[\boxed{ F_Z(z)= \iint_{g(x,y)\le z}f(x,y)\,dx\,dy } \]

这里还需要考虑联合密度的支持集。

和的分布：\(Z=X+Y\)

如果 \(X,Y\) 独立且都有概率密度：

\[\boxed{ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx } \]

这称为卷积公式。

例题：两个独立均匀分布之和
设：

\[X,Y\overset{\mathrm{i.i.d.}}{\sim}U(0,1) \]

求：

\[Z=X+Y \]

由于：

\[0<X<1,\quad0<Y<1 \]

所以：

\[0<Z<2 \]

利用卷积：

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx \]

两个密度同时非零需要：

\[0<x<1 \]

以及：

\[0<z-x<1 \]

因此：

\[\max(0,z-1)<x<\min(1,z) \]

于是：

\[\boxed{ f_Z(z)= \begin{cases} z,&0<z<1\\ 2-z,&1\le z<2\\ 0,&\text{其他} \end{cases} } \]

把这个画出来，注意到是一个三角形。

这说明两个均匀分布相加，得到的并不是均匀分布，而是一个三角形密度。

最大值与最小值

设：

\[M=\max(X,Y) \]

则：

\[M\le z\iff X\le z,\ Y\le z \]

所以：

\[\boxed{F_M(z)=F_{X,Y}(z,z)} \]

若 \(X,Y\) 独立：

\[\boxed{F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)} \]

对于最小值：

\[N=\min(X,Y) \]

考虑补事件：

\[N>z\iff X>z,\ Y>z \]

因此：

\[F_N(z)=1-P(X>z,Y>z) \]

若 \(X,Y\) 独立：

\[\boxed{ F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] } \]

注意，最大值的公式 \(F_M(z)=F_{X,Y}(z,z)\) 不需要独立性，但后面分解成两个边缘 CDF 的乘积则需要独立性。