正交矩阵与实对称矩阵

正交矩阵

正交矩阵是啥

小C这天在按住w进行俺寻思。想着想着，她想到，矩阵左乘会对空间进行变换。

可是这些变换中，有的会伸缩某个方向，有的会旋转某个方向，有的会切割空间……好复杂。

小C已经知道有一种矩阵的变换仅仅放缩某些个方向——可对角矩阵

那有没有能够仅旋转（或反射）的矩阵呢？

正交矩阵的定义

定义，满足 \(QQ^T=I\) 的矩阵 \(Q\) 为正交矩阵。

那这个矩阵对空间进行了什么变换呢？

本质上，正交矩阵仅仅对空间做了旋转或反射变换，而没有任何放缩切割等变换。因此，用正交矩阵变换空间又被称为刚体运动。

那么，其特征值与特征向量呢？

正交矩阵的特征值总是1或-1，且所有特征向量正交。

这是很好解释的：因为只做了旋转或反射，没有放缩，因此特征值总是1或-1.同时，所有的向量都做了同样的旋转变换，原来正交变化之后也同样正交。

实对称矩阵

在向下解释之前，需要先引入一个特殊的矩阵：实对称矩阵。

定义：满足 \(A=A^T\) 的矩阵称为实对称矩阵。

剩下等会在补