二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程通解

我们将方程 \(y''+py'+qy=0\) 称为二阶常系数齐次线性微分方程。

观察式子，不妨令 \(y=e^{rt}\)，那么有 \(r^2+pr+q=0\) \((1)\)，这是一个一元二次方程。根据一元二次方程的解的情况，我们需要按照不同的方式构造解。

\(\Delta>0\) 时

\((1)\) 的解为 \(r_1,r_2\)，那么通解为 \(y=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)。

\(\Delta=0\) 时

\((1)\) 的解为 \(r_1=r_2=r\)，那么通解为 \(y=C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x}\)。

\(\Delta<0\) 时

我们还是想按照第一种情况构造解，但是构造出来的式子带有复数。这时可以想到 \(Euler\) 公式。

\(Euler\) 公式：\(e^{\theta i}=\cos \theta + i \sin \theta\)

设解为 \(r_1=\alpha + \beta i,r_2 = \alpha - \beta i\)

带入，得到

\[y_1=e^{\alpha x}(\cos \beta x + i\sin \beta x)\\ y_2=e^{\alpha x}(\cos \beta x - i\sin \beta x) \]

设 \(y_3=\frac{y_1+y_2}{2},y_4=\frac{y_1-y_2}{2i}\)，得到

\[y_3=e^{\alpha x}\cos \beta x\\ y_4=e^{\alpha x}\sin \beta x \]

这同样是线性无关的一组特解，可以得到通解：\(y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)

二阶常系数非齐次线性微分方程通解

我们称 \(y''+py'+qy=f(x)(2)\) 为二阶常系数非齐次线性微分方程

区别在于 \(f(x)\neq 0\)

求这样一个方程的通解是困难的，但是构造一个特解应该不会太难

如果构造出一个特解 \(y^*\)，回头再求出 \(y''+py'+qy=0\) 的通解 \(Y\)，那么最终 \((2)\) 的通解就是 $$y=y^*+Y$$

这里对于 \(f(x)\) 进行分类讨论

\(f(x) = P_m(x) e^{\alpha x}\) 时

不妨设特解 \(y^*=Q(x)e^{\alpha x}\)

带入 \((2)\) 得到 $$P_m(x)=Q''(x)+(2\alpha + p)Q'(x)+(\alpha^2+p\alpha+q)Q(x)$$

1. 当 \(\alpha\) 不是特征根时，那么 \(y^*=F_m(x)e^{\alpha x}\)
2. 当 \(\alpha\) 是特征单根时，那么 \(y^*=xF_m(x)e^{\alpha x}\)
3. 当 \(\alpha\) 是特征重根时，那么 \(y^*=x^2F_m(x)e^{\alpha x}\)

关于如何求解 \(F_m(x)\)：

比较简单粗暴的方法是，直接设 \(F_m(x)=\sum_{i=0}^ma_ix^i\)

这比较适用于 \(m\) 较小的情况

\(f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x + P_m(x)\sin \beta x]\) 时

特解为 $$y^*=xke^{\alpha x}[F^{(1)}_n(x)\cos \beta x + F^{(2)}_n(x)\sin \beta x]$$

其中

\[n=\max (m,l)\\ \]

\[k=\begin{cases} 0&\alpha+\beta i不是特征根\\ 1&\alpha+\beta i是特征根 \end{cases} \]

求 \(F^{(1)}\) 和 \(F^{(2)}\) 把式子带进去就好。

特别的，当 \(f(x)=e^{\alpha x}\cos \beta x\)（或\(f(x)=e^{\alpha x}\sin \beta x\)）时

有一个定理，描述的是，如果 \(L[y]=f_1(x)+f_2(x)i\)，那么最终的通解 \(y\) 可以用三部分表达。

设 \(Y\) 是 \(L[y]=0\) 的通解，\(y_1\) 是 \(L[y]=f_1(x)\) 的特解，\(y_2\) 是 \(L[y]=f_2(x)\) 的特解。

那么最终解 \(y=Y+y_1+i \times y_2\)

那么对于式子 \(f(x)=e^{\alpha x}\cos \beta x\)，我们可以添加 \(i\sin\beta x\)，然后把式子变成 \(y''+py'+qy=e^{(\alpha+\beta i) x}\)，然后按照第一种情况求解。

最后分离实部和虚部，按照需要拿出对应的即可。