广义二项式定理

广义二项式定理小记

定义

广义二项式定理，又称牛顿二项式定理，是对于传统二项式定理的推广

传统的二项式定理，即 \((x+y)^n = \sum_{i = 1}^n {n \choose i} x^i y^{n - i}\)

其中有：

1. \(n, i \in \Z\)
2. \(n \geq i\)
3. \({n\choose i} = \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!}\)

但是对于广义（牛顿）二项式，去除了第 \(1,2\) 条限制

即现在的 \(n\in \R, i\in \Z\)

式子变成了

\[(x+y)^n=\sum_{i\geq 0} {n\choose i} x^i y^{n-i} \]

对于 \({n\choose k} = \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!}\)，其中的 \((n-i)\) 可以是任意实数

因为 \(n\) 被扩展到全体实数，所以一些奇怪的数字也可以通过广义二项式估计，例如

\[\sqrt{2} = (1+1)^{0.5}=\sum_{i\geq 0} {0.5\choose i} \]

通过计算前 \(7\) 项，可以精确到 \(\sqrt{2}\) 第二位小数

一些常用的广义二项式结论

1.

\[\sum_{i\geq 0} {i+n-1\choose i}x^i=(1-x)^{-n} \]

证明：

首先要知道，$${k+n-1\choose k}=\frac{\prod_{i=1}^{k}(n+i-1)}{k!}$$

然后，提出一个 \((-1)^k\)，式子变成 $$(-1)^{k\frac{\prod_{i=1}}-(n+i-1)}{k!}=(-1)^{k\frac{\prod_{i=0}}(-n)-i}{k!}$$

由 \({n\choose k} = \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!}\) 得：

\[(-1)^k\frac{\prod_{i=0}^{k-1}(-n)-i}{k!}=(-1)^k {-n\choose k} \]

然后带回原式

\[\sum_{i\geq 0} {i+n-1\choose i}x^i=\sum_{i\geq 0}{-n\choose i}(-x)^i=(1-x)^{-n} \]

得证

2.

\[{\frac{1}{2}\choose n} (-4x)^n={2n-1\choose n}\frac{1}{2n-1}2x^n \]

证明：

首先

\[\prod_{i=0}^{n-1} (\frac{1}{2}-i)=\frac{1}{2} \frac{-1}{2}\frac{-3}{2}\dotsb\frac{-(2n-3)}{2}\\ =\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}{\prod_{i=1}^{n - 1}(2i-1)}\\ =\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}\frac{(2n-2)!}{\prod_{i=1}^{n-1}(2i)}\\ =\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} \]

然后带入原式

\[{\frac{1}{2}\choose n} (-4x)^n=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!}\frac{1}{n!}(-4x)^n\\ ={2n-1\choose n}\frac{1}{2n-1}2x^n \]

3.待补充