CSP-S2022T1题解

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[CSP-S 2022] 假期计划

题目背景

由于众所周知的原因，官方数据现置于子任务 0，剩余的子任务为民间数据。

题目描述

小熊的地图上有 $n$ 个点，其中编号为 $1$ 的是它的家、编号为 $2,3,\dots ,n$ 的都是景点。部分点对之间有双向直达的公交线路。如果点 $x$ 与 $z_1$、$z_1$ 与 $z_2$、……、$z_{k-1}$ 与 $z_k$、$z_k$ 与 $y$ 之间均有直达的线路，那么我们称 $x$ 与 $y$ 之间的行程可转车 $k$ 次通达；特别地，如果点 $x$ 与 $y$ 之间有直达的线路，则称可转车 $0$ 次通达。

很快就要放假了，小熊计划从家出发去 $4$ 个不同的景点游玩，完成 $5$ 段行程后回家：家 $\to$ 景点 A $\to$ 景点 B $\to$ 景点 C $\to$ 景点 D $\to$ 家且每段行程最多转车 $k$ 次。转车时经过的点没有任何限制，既可以是家、也可以是景点，还可以重复经过相同的点。例如，在景点 A $\to$ 景点 B 的这段行程中，转车时经过的点可以是家、也可以是景点 C，还可以是景点 D $\to$ 家这段行程转车时经过的点。

假设每个景点都有一个分数，请帮小熊规划一个行程，使得小熊访问的四个不同景点的分数之和最大。

输入格式

第一行包含三个正整数 $n,m,k$，分别表示地图上点的个数、双向直达的点对数量、每段行程最多的转车次数。

第二行包含 $n-1$ 个正整数，分别表示编号为 $2,3,\dots ,n$ 的景点的分数。

接下来 $m$ 行，每行包含两个正整数 $x,y$，表示点 $x$ 和 $y$ 之间有道路直接相连，保证 $1\le x,y\le n$，且没有重边，自环。

输出格式

输出一个正整数，表示小熊经过的 $4$ 个不同景点的分数之和的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

8 8 1
9 7 1 8 2 3 6
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 1

样例输出 #1

27

样例 #2

样例输入 #2

7 9 0
1 1 1 2 3 4
1 2
2 3
3 4
1 5
1 6
1 7
5 4
6 4
7 4

样例输出 #2

7

提示

【样例解释 #1】

当计划的行程为 $1\to 2\to 3\to 5\to 7\to 1$ 时，$4$ 个景点的分数之和为 $9+7+8+3=27$，可以证明其为最大值。

行程 $1\to 3\to 5\to 7\to 8\to 1$ 的景点分数之和为 $24$、行程 $1\to 3\to 2\to 8\to 7\to 1$ 的景点分数之和为 $25$。它们都符合要求，但分数之和不是最大的。

行程 $1\to 2\to 3\to 5\to 8\to 1$ 的景点分数之和为 $30$，但其中 $5\to 8$ 至少需要转车 $2$ 次，因此不符合最多转车 $k=1$ 次的要求。

行程 $1\to 2\to 3\to 2\to 3\to 1$ 的景点分数之和为 $32$，但游玩的并非 $4$ 个不同的景点，因此也不符合要求。

【样例 #3】

见附件中的 holiday/holiday3.in 与 holiday/holiday3.ans。

【数据范围】

对于所有数据，保证 $5\le n\le 2500$，$1\le m\le 10000$，$0\le k\le 100$，所有景点的分数 $1\le s_i\le {10}^{18}$。保证至少存在一组符合要求的行程。

测试点编号	$n\le$	$m\le$	$k\le$
$1\sim 3$	$10$	$20$	$0$
$4\sim 5$	$10$	$20$	$5$
$6\sim 8$	$20$	$50$	$100$
$9\sim 11$	$300$	$1000$	$0$
$12\sim 14$	$300$	$1000$	$100$
$15\sim 17$	$2500$	$10000$	$0$
$18\sim 20$	$2500$	$10000$	$100$

考场思路

当时看到这道题时，满脑子都是 O($n^3$)的传递闭包，于是喜提70分凎的真蚌

正解

其实这道题可以用O($n$)的时间复杂度找到任意一点走k个边能到达的点，然后O($n^2$)预处理一下所有点，因为1点是确定的废话，而1点相邻的有A点和D点，所以可以在上面预处理时确定这个点能到达的最大权值的点……
然鹅注意细节 “从家出发去 $4$ 个不同的景点游玩”，所以有可能出现你找到的最大权值点是相同的情况，于是要找最大权值，次大权值，第三大权值，然后就完事了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x = 0, f = 1;char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') f = -1;ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0'; ch = getchar();}
    return x * f;
}
int n, m, k;
const int maxn = 2510;
vector<int> e[maxn];
int a[maxn], d[maxn][maxn];
int b[maxn][3];
void bfs(int s){
    for(int i = 1;i <= n;i++)d[s][i] = -1;
    queue<int> que;
    que.push(s);d[s][s] = 0;
    while(!que.empty()){
        int u = que.front(); que.pop();
        if(d[s][u] == k)continue;
        for(int i = 0, len = e[u].size();i < len;i++){
            int v = e[u][i];
            if(d[s][v] == -1){
                d[s][v] = d[s][u] + 1;
                que.push(v);
            }
        }
    }
}
signed main(){
    n = read(); m = read(); k = read() + 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++)a[i] = read();
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        int u = read(), v = read();
        e[u].push_back(v); e[v].push_back(u);
    }
    bfs(1);
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        bfs(i);
        for(int j = 2;j <= n;j++){
            if(i == j)continue;
            if(d[i][j] == -1 || d[1][j] == -1)continue;
            if(a[j] > a[b[i][0]]){b[i][2] = b[i][1];b[i][1] = b[i][0];b[i][0] = j;}
            else if(a[j] > a[b[i][1]]){b[i][2] = b[i][1];b[i][1] = j;}
            else if(a[j] > a[b[i][2]]){b[i][2] = j;}
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        for(int j = i + 1;j <= n;j++){
            if(d[i][j] == -1)continue;
            for(int k1 = 0;k1 < 3;k1++){
                for(int k2 = 0;k2 < 3;k2++){
                    int x = b[i][k1], y = b[j][k2];
                    if(x == 0 || y == 0 || x == y || x == i || x == j || y == i || y == j)continue;
                    ans = max(ans,a[i] + a[j] + a[x] + a[y]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}