基础算法之排序算法

      既然写到了USACO的贪心章节，想必一定离不开排序问题，排序是一个看似简单其实很深的算法，可以说是算法的基本钢架，一些问题本来没有思路，但是排序后豁然开朗。近年来，排序算法在NOIP中第一题很是常见，因为他第一能考察同学的细心程度，第二也能考察编程能力和思维的条理性。所以Sort+String成为了各大比赛的头号题目。但是怎么样能够用排序对一些问题迎刃而解呢？

例一：输油管道

【问题描述】
　　某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n 口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置，即它们的x 坐标（东西向）和y 坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？证明可在线性时间内确定主管道的最优位置。
【编程任务】
　　给定n 口油井的位置,编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
【输入格式】
　　由文件pipe.in提供输入数据。文件的第1 行是油井数n，1≤n≤10000。接下来n 行是油井的位置，每行2个整数x和y，-10000≤x,y≤10000。
【输出格式】
　　程序运行结束时，将计算结果输出到文件pipe.out 中。文件的第1 行中的数是油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
【输入样例】
5
1  2
2  2
1  3
3  -2
3  3
【输出样例】
6

【思路】

      简单中位数问题，题目要求线性，但是由于偷懒，我在O（n^2）的时间求得答案

 

例二：士兵战队

【问题描述】
　　在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x 和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。
【编程任务】
　　计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。
【输入格式】
　　由文件sol.in提供输入数据。文件的第1 行是士兵数n，1≤n≤10000。接下来n 行是士兵的初始位置，每行2 个整数x 和y，-10000≤x，y≤10000。
【输出格式】
　　程序运行结束时，将计算结果输出到文件sol.out中。文件的第1 行中的数是士兵排成一行需要的最少移动步数。
【输入样例】
5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3
【输出样例】
8

【思路】

      中位数加强版，求两次中位数。

一 士兵有多种移动方式
　　通过适当的移动顺序和移动路线可以使得同一时刻不会有两名士兵站在同一点
二 题目要求最佳移动方式（即求移动的最少步数）
     题目要求转化为求士兵站立的“最终位置”，即如何取“最终位置”使得士兵移动的步数最少（最优）
     Y轴方向上的考虑：设目标坐标为M，即n个士兵最终需要移动到的Y轴的坐标值为M
n个士兵的Y轴坐标分别为：
Y0，Y1，Y2 …… …… Yn-1则最优步数S=|Y0-M|+|Y1-M|+|Y2-M|+ …… …… +|Yn-1-M|
结论：M取中间点的值使得S为最少（最优）
证明：……
从最上和最下的两个士兵开始递推……
最优位置
归结到最后，处于中间位置的士兵的Y轴坐标值就是“最终位置”的Y轴坐标
可能有两种情况
士兵总数为双数情况：取中间两点间的任意一个位置
士兵总数为单数情况：取中间点的所在位置
解决办法：对所有的Y轴坐标进行排序（O（nlogn））
然后取“中间”点的Y轴坐标值作为最佳位置M的值，最后通过公式求出Y轴方向上移动的最优步数，X轴方向上的考虑，首先需要对所有士兵的X轴坐标值进行排序，然后，按从左至右的顺序依次移动到每个士兵所对应的“最终位置”（最优），所移动的步数总和就是X轴方向上需要移动的步数。例，最左的士兵移动到“最终位置”的最左那位，第二个士兵移动到“最终位置”的第二位则总的步数为：士兵一移动步数+士兵二移动步数+ …… +士兵n移动步数。

如何确定X轴方向上的最佳的“最终位置”？

共n个士兵，他们相应的X轴坐标为：X0，X1，X2 …… …… Xn-1
设，士兵需要移动到的“最终位置”的X轴坐标值为：k，k+1，k+2 …… …… k+（n-1）则所求最优步数S=|X0-k|+|X1-（k+1）|+|X2-（k+2）|+ …… +|Xn-1-（k+（n-1））|经过变形S=|X0-k|+|（X1-1）-k|+|（X2-2）-k|+ …… …… +|（Xn-1-（n-1））-k|注意到公式的形式与Y轴方向上的考虑一样，同样是n个已知数分别减去一个待定数后取绝对值，然后求和
因此还是采用取中位数的办法求得k值，最后算出最优解。