暴力判断素数、埃氏筛法、欧拉筛法

筛法是一种用来求素数的方法。一般来说可以循序渐进的掌握暴力判断素数、埃氏筛法、欧拉筛法。

暴力判断素数

时间复杂度 O(n²/2)(对于打出素数表来说)(我太蒻了，这个时间复杂度不保证正确)

利用素数只能被1和它本身整除的性质，我们可以把数x与2到n-1全取余。如果结果均不等于0，则为素数。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;

int n;
bool flag;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        flag=true;
        for(int j=2;j<=i-1;j++)
        {
            if(i%j==0)
            {
                flag=false;
                //当出现第一个能被整除的数时立即跳出循环，可提高一定效率
                break;
            }
        }
        
        if(flag) printf("%d ",i);
    }
    
    return 0;
}

这个最简单的写法在只判断几个素数时绰绰有余，但是当要打出一个很大的素数表时就很狼狈了。

 

埃氏筛法

时间复杂度 O(nloglogn)

很容易想到，任意一个素数的倍数是合数，这就是埃氏筛法筛出素数表的原理。假设要打出n以内的素数表。我们从2开始向后遍历，每当遇到一个素数p时，便利用此素数将[2，n]内p*2，p*3，p*4......这些合数全部筛去。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

using namespace std;

int n;
int p[10000010];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    //初始化
    for(int i=2;i<=n;i++) p[i]=1;
    
    for(int i=2;i<=sqrt(n)+0.5;i++)
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i) p[j]=0;
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(p[i]) printf("%d ",i);
    
    return 0;
}

这个算法在一般的数据面前已经足够了。不过我们还可以更快：）

 

欧拉筛法

时间复杂度 O(n)

首先观察一下埃氏筛法。在使用他时，我们发现有这样一个问题：在使用素数2进行筛去操作时，我们会筛去素数6；在之后利用素数3进行筛去操作时，我们又会筛去一次素数6。可见在埃氏筛法的筛去过程中，会出现同一个合数筛去多次的情况，以至于影响了效率。

相比之下，欧拉筛法是一种线性筛法。它便解决了埃氏筛法中一个合数会被筛去多次的问题，确保了每一个合数都只会被筛去一次，因此具有O(n)的效率。而它的实现原理是确保每个合数都只会被它的最小质因数筛掉。过程大概如下：

首先我们会建立2个数组，isp（值为1/0，isp[i]用来表示i是否是素数），p（用来储存所有的素数）。依旧是打出到n的素数表。

1.将i从2开始遍历。如果i是素数，就把它加入到p[]中。

2.在当前i的情况下遍历p[]，筛去i*p[j]，若i*p[j]>n（已经没必要筛去了）或i%p[j]==0（这是确保每个合数只筛一次的核心）就退出循环。

对核心的解释：假设在i%p[j]==0时我们继续进行，便筛去了合数i*p[j+1]。由于此时i%p[j]==0，则这个由一个素数和一个合数的乘积组成的合数，一定能转化为一个更小的素数和一个更大的合数的乘积，那么当继续运行时，此合数必然还会被p[j]再次筛去，便进行了多余的筛去工作。因此可以说在i%p[j]==0时退出循环是确保每个合数都只会被它的最小质因数筛掉，也就是确保每个合数只被筛一次的核心。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>

using namespace std;

int n;
int num=0;
int isp[10000010],p[10000010];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    //初始化
    for(int i=2;i<=n;i++) isp[i]=1;
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isp[i])
        {
            num++;
            p[num]=i;
        }
        for(int j=1;j<=num&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            isp[i*p[j]]=0;
            //确保每个合数都只会被它的最小质因数筛掉
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=num;i++) printf("%d ",p[i]);
    
    return 0;
}