第十三周：超声成像

第十三周：超声波无损检测与材料弹性模量测量

一、 实验目的

1. 了解超声波在固体介质中的传播特性（纵波与横波）。
2. 掌握使用超声波检测材料声速、探头折射角的方法。
3. 利用声速测量数据计算固体材料（铝合金）的力学弹性常数（杨氏弹性模量 \(E\) 和泊松系数 \(\sigma\)）。
4. 学习超声成像（C扫描）的基本原理，完成无缺陷及有缺陷试块的扫描检测，并重构缺陷的空间分布图。

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二、 实验原理与核心公式

1. 斜探头横波折射角测定

当纵波斜入射到第二介质界面时，会发生波形转换产生横波。通过测量特定几何尺寸下最大反射信号的位置，可确定斜探头的实际横波折射角 \(\beta_T\)：

\[\beta_T = \arctan\left(\frac{l_{B1} - l_{A1} - L}{H}\right) \quad \text{(式 7.2-16)} \]

2. 声速与弹性模量、泊松系数的关系

固体介质中的纵波声速 \(v_L\) 和横波声速 \(v_T\) 取决于材料的密度 \(\rho\)、杨氏模量 \(E\) 和泊松比 \(\sigma\)。通过测定声速，可反推力学性能：

• 纵横声速比： \(T = \frac{v_L}{v_T} \quad \text{(式 7.2-11)}\)
• 泊松系数： \(\sigma = \frac{T^2 - 2}{2(T^2 - 1)} \quad \text{(式 7.2-10)}\)
• 弹性模量： \(E = \frac{\rho v_T^2 (3T^2 - 4)}{T^2 - 1} \quad \text{(式 7.2-9)}\)

3. 超声时差法声速测量

通过改变超声波的声程距离或利用多次底波的时间差 \(\Delta t = t_2 - t_1\)，可以精确消除探头前沿保护套带来的声时延迟：

• 直探头纵波速度： \(v_L = \frac{2L'}{t_2 - t_1} \quad \text{(式 7.2-18)}\) （\(L'\) 为试块厚度）
• 斜探头横波速度： \(v_T = \frac{2(R_2 - R_1)}{t_2 - t_1} \quad \text{(式 7.2-21)}\) （\(R_2 - R_1\) 为曲率半径差）

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三、 实验数据与处理

1. 基础物理常数与探头参数

• 已知常数： * 铝块测试方向厚度 \(L' = 45.0\text{ mm}\)
  • 斜探头半圆环试块半径差 \(R_2 - R_1 = 3.0\text{ cm} = 30.0\text{ mm}\)
  • 铝的密度取：\(\rho = 2700\text{ kg/m}^3\)
• 折射角几何测量数据：
  • \(l_{A1} = 2.90\text{ cm}\), \(l_{B1} = 8.75\text{ cm}\)
  • 试块尺寸：\(H = 3.0\text{ cm}\), \(L = 3.0\text{ cm}\)

【计算 1：斜探头横波实际折射角 \(\beta_T\)】

\[\beta_T = \arctan\left(\frac{8.75 - 2.90 - 3.0}{3.0}\right) = \arctan\left(\frac{2.85}{3.0}\right) = \arctan(0.95) \]

\[\beta_T \approx 43.53^\circ \]

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2. 铝块的弹性模量和泊松系数测量

表 7.2-1 测量数据（单位：\(\mu s\)）

探头类型	\(t_1\)	\(t_2\)	时间差 \(\Delta t\)
直探头（纵波）	\(14.4\)	\(28.4\)	\(14.0\)
斜探头（横波）	\(26.5\)	\(45.9\)	\(19.4\)

【计算 2：纵横波声速求解】

• 纵波声速：
  \[v_L = \frac{2 \times 45.0 \times 10^{-3}\text{ m}}{14.0 \times 10^{-6}\text{ s}} \approx 6428.57\text{ m/s} \]

• 横波声速：
  \[v_T = \frac{2 \times 30.0 \times 10^{-3}\text{ m}}{19.4 \times 10^{-6}\text{ s}} \approx 3092.78\text{ m/s} \]

【计算 3：力学参数弹性模量与泊松系数求解】

1. 声速比 \(T\)：
   \[T = \frac{6428.57}{3092.78} \approx 2.0786 \implies T^2 \approx 4.3207 \]

2. 泊松系数 \(\sigma\)：
   \[\sigma = \frac{4.3207 - 2}{2 \times (4.3207 - 1)} = \frac{2.3207}{6.6414} \approx 0.3494 \]

3. 杨氏弹性模量 \(E\)：
   \[E = \frac{2700 \times (3092.78)^2 \times (3 \times 4.3207 - 4)}{4.3207 - 1} \]
   \[E = \frac{2700 \times 9565288 \times 8.9621}{3.3207} \approx 6.970 \times 10^{10}\text{ Pa} = 69.70\text{ GPa} \]

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3. 专用直探头在无缺陷成像试块中的传播速度测量

表 7.2-2 测量数据（单位：\(\mu s\)）

探头规格	\(t_1\)	\(t_2\)	时间差 \(\Delta t\)
5MΦ6 专用直探头	\(14.9\)	\(29.2\)	\(14.3\)

【计算 4：成像专用直探头声速 \(v_{\text{img}}\)】

\[v_{\text{img}} = \frac{2 \times 45.0 \times 10^{-3}\text{ m}}{14.3 \times 10^{-6}\text{ s}} \approx 6293.71\text{ m/s} \]

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四、 超声成像测试数据分析（C扫描重构）

1. 表 7.2-3 修正后的 \(10 \times 10\) 声时矩阵数据（单位：\(\mu s\)）

\(10 \times 10\) 的扫描网格，记录了声束在各点处的声学特征时间：

行 \ 列	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	16.00	14.40	9.66	9.66	9.66	9.66	16.20	16.20	14.40	14.40
2	16.20	14.40	9.66	9.66	9.66	9.66	16.20	9.66	16.20	6.78
3	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	14.40	6.78
4	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	9.66	14.40	14.40	14.40	14.40
5	16.20	16.20	9.66	9.66	9.66	16.20	14.40	14.40	14.40	14.40
6	16.20	16.20	9.66	9.66	9.66	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20
7	9.66	9.66	9.66	9.66	16.20	9.66	16.20	16.20	9.66	9.66
8	9.66	9.66	9.66	9.66	16.20	9.66	9.66	9.66	9.66	16.20
9	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	9.66	16.20	16.20
10	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20	16.20

2. 缺陷深度转换公式与分析

通过定量计算可知，探头的零点延迟时间约为：

\[t_{\text{delay}} = t_1 - \Delta t = 14.9 - 14.3 = 0.60\ \mu s \]

由于超声波成像为反射式测厚，缺陷反射面的深度计算公式为：

\[s = \frac{v_{\text{img}} \times (t_{\text{测}} - t_{\text{delay}})}{2} \]

利用此公式，可将矩阵中的离散特征声时转换为明确的空间物理深度：

1. \(16.20\ \mu s\)（大面积基体底波）： $$s = \frac{6293.71 \times (16.20 - 0.60) \times 10^{-6}}{2} \approx 49.09\text{ mm}$$
   (对应试块的总厚度平面)
2. \(14.40\ \mu s\)（浅层缺陷）： $$s = \frac{6293.71 \times (14.40 - 0.60) \times 10^{-6}}{2} \approx 43.43\text{ mm}$$
3. \(9.66\ \mu s\)（中等深度缺陷）： $$s = \frac{6293.71 \times (9.66 - 0.60) \times 10^{-6}}{2} \approx 28.51\text{ mm}$$
4. \(6.78\ \mu s\)（深层埋藏缺陷）： $$s = \frac{6293.71 \times (6.78 - 0.60) \times 10^{-6}}{2} \approx 19.45\text{ mm}$$

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五、结论

实验核心结论

1. 力学常数测定成功： 本实验利用超声波时差法，成功测得工业铝块的纵波声速 \(v_L = 6428.57\text{ m/s}\)，横波声速 \(v_T = 3092.78\text{ m/s}\)。基于弹性力学波动方程，反推得到铝试块的泊松比 \(\sigma = 0.3494\)，杨氏弹性模量 \(E = 69.70\text{ GPa}\)。实验结果与标准学术文献中纯铝的弹性模量（\(70\text{ GPa}\)）相比，相对误差仅为 \(0.43\%\)，证明了声学检测在无损评估材料力学常数方面的极高精确度。
2. 三维缺陷重构成功： 通过对 \(10\text{ mm} \times 10\text{ mm}\) 网格逐点进行 A 超时差提取，排除了 \(0.60\ \mu s\) 的探头固有延迟，成功绘制出了检测图像（C扫描云图）。清晰辨识出了深度分别为 \(19.45\text{ mm}\)、\(28.51\text{ mm}\) 和 \(43.43\text{ mm}\) 的三组人工缺陷，完美实现了未知固体内部缺陷的可视化。