第十一周：油滴

电子电荷测量

实验目的：

1. 学习并掌握密立根油滴实验的设计思想和测量方法。
2. 采用静态平衡法测量不同油滴的电荷量，验证电荷的量子化特质。
3. 测定基本元电荷 \(e\) 的数值，并进行误差与不确定度分析。

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一、 实验原理

密立根油滴实验采用力学平衡的基本原理。在垂直方向的均匀电场中，悬浮在空气中的带电油滴同时受到重力、浮力、电场力以及空气黏滞阻力的作用。

1. 静态平衡过程

当调节电场强度，使得带电量为 \(q\)、质量为 \(m\) 的油滴在匀强电场中静止不动（即达到平衡状态）时，油滴受到的重力（扣除空气浮力）与电场力相等：

\[mg = qE = q \cdot \frac{V}{d} \]

其中：

• \(m\) 为油滴的有效质量（除浮力）：\(m = \frac{4}{3}\pi r^3 (\rho_{\text{oil}} - \rho_{\text{air}})\)
• \(V\) 为油滴静止时的两极板间平衡电压
• \(d\) 为两极板之间的距离（给定 \(d = 1.6 \text{ mm} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}\)）
• \(\rho_{\text{oil}}\) 为油的密度（取 \(981.0 \text{ kg/m}^3\)）
• \(\rho_{\text{air}}\) 为空气密度（在常温常压下较小，常融入公式修正或忽略，此处主要依据黏滞系数处理）

2. 动态下落过程

切断电场后，油滴在重力作用下在空气中做加速下落。由于空气黏滞阻力的存在（服从斯托克斯定律 \(f = 6\pi \eta r v_g\)），油滴很快达到极限匀速下落速度 \(v_g\)：

\[mg = 6\pi \eta r v_g = 6\pi \eta r \cdot \frac{d}{t_g} \]

其中：

• \(\eta\) 为空气黏滞系数（常温下取 \(\eta = 1.83 \times 10^{-5} \text{ Pa}\cdot\text{s}\)）
• \(t_g\) 为油滴无电场下落距离 \(d\) 所需的时间

3. 公式联立与库宁汉修正（Cunningham Correction）

通过联立平衡方程与下落方程，可解得油滴半径 \(r\) 和未经修正的原始电荷量 \(q\)：

\[r = \sqrt{\frac{9\eta d}{2\rho_{\text{oil}} g t_g}} \]

\[q = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\text{oil}} g \frac{d}{V} \]

由于油滴半径 \(r\) 的大小与空气分子的平均自由程相当，斯托克斯定律需要引入库宁汉修正系数。修正后的电荷量 \(q'\) 为：

\[q' = \frac{q}{(1 + \frac{b}{p \cdot r})^{1.5}} \]

其中：

• \(b\) 为修正常数（取 \(8.23 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{m}\)）
• \(p\) 为大气压强（标准大气压取 \(1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)）

最后，通过对多组油滴的 \(q'\) 寻找最大公约数，即可确定油滴所带的元电荷数 \(n\)（取整），并计算元电荷的测量值 \(e_{\text{expt}} = \frac{q'}{n}\)。

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二、 实验仪器与基本参数

• 实验仪器：密立根油滴仪（带CCD成像系统与数字计时器）、喷雾器、变阻稳压电源、数字电压表
• 基本参数：
  • 极板间距 \(d = 1.60 \times 10^{-3} \text{ m}\)
  • 油滴密度 \(\rho_{\text{oil}} = 981.0 \text{ kg/m}^3\)
  • 重力加速度 \(g = 9.80 \text{ m/s}^2\)
  • 空气黏滞系数 \(\eta = 1.83 \times 10^{-5} \text{ Pa}\cdot\text{s}\)
  • 修正常数 \(b = 8.23 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{m}\)，大气压强 \(p = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)

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三、 实验数据记录与处理

1. 原始测量数据表

5 组油滴在下落距离 \(d = 1.6\text{ mm}\) 时的平衡电压与 5 次下落时间数据记录如下：

油滴编号	平衡电压 \(V \text{ (V)}\)	\(t_{g1}\text{ (s)}\)	\(t_{g2}\text{ (s)}\)	\(t_{g3}\text{ (s)}\)	\(t_{g4}\text{ (s)}\)	\(t_{g5}\text{ (s)}\)
1	213	13.77	13.74	13.75	13.89	14.00
2	235	14.74	15.49	15.49	14.88	15.41
3	260	10.41	10.11	10.10	10.11	10.04
4	281	19.32	19.21	18.41	18.61	19.02
5	234	23.64	23.57	23.74	24.04	23.89

2. 数据处理与计算步骤

根据理论公式，分别计算各油滴的平均下落时间 \(\bar{t}_g\)、半径 \(r\)、原始电量 \(q\)、修正电量 \(q'\)、元电荷个数 \(n\) 及单电子电量测量值 \(e\)。

数据处理汇总表：

编号	\(\bar{t}_g\text{ (s)}\)	半径 \(r\text{ }(\mu\text{m})\)	原始电量 \(q\text{ }(\times 10^{-19}\text{C})\)	修正电量 \(q'\text{ }(\times 10^{-19}\text{C})\)	电荷数 \(n\)	元电荷测量值 \(e\text{ }(\times 10^{-19}\text{C})\)
1	13.83	0.995	2.984	2.653	2	1.327
2	15.20	0.949	2.347	2.075	1	2.075
3	10.15	1.162	3.886	3.511	2	1.756
4	18.91	0.851	1.414	1.234	1	1.234
5	23.78	0.759	1.205	1.035	1	1.035

3. 线性拟合和电荷量计算

• 直接线性拟合，不考虑过原点
  
• 考虑过原点的线性拟合，个人认为这个更准确且符合实验原理，因为\((0,0)\)也算是一组数据（general acknoledge）
  

4. 误差分析与百分误差

公认的标准元电荷常数 \(e_{\text{standard}} = 1.602 \times 10^{-19}\text{ C}\)。

百分绝对误差计算：

\[\text{Error} = \frac{|\bar{e} - e_{\text{standard}}|}{e_{\text{standard}}} \times 100\% = \frac{|1.5156 - 1.602|}{1.602} \times 100\% \approx 5.39\% \]

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四、 实验结果与讨论

1. 量子化验证：由实验数据可见，不同油滴所带的总电荷量 \(q'\) 均离散地分布在 \(1.0 \times 10^{-19}\text{ C}\) 至 \(3.5 \times 10^{-19}\text{ C}\) 之间，通过取整分析，它们分别携带 1 个或 2 个元电荷。这有力地证实了宏观带电体所带电荷具有不连续的、量子化的特性。
2. 误差来源分析：
   • 阻力系数与温度变化：实验过程中连续使用光源照射会使油滴室内部温度升高，导致空气黏滞系数 \(\eta\) 发生改变，这是引入系统误差的主要原因。
   • 电压控制及微扰：静态法中人工调整平衡电压时，难以保证油滴绝对静止；空气细微的对流和布朗运动也会造成油滴上下轻微晃动，影响电压 \(V\) 和下落时间 \(t_g\) 的测量精度。
   • 油滴的选择：若选择的油滴过大，则下落太快计时误差大；若油滴过小，布朗运动剧烈，同样不易控制。
   • 人手测量误差：真正做的时候可谓是机子忒老，反应忒迟钝!!！下落时间 \(t_g\) 的测量精度。

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