第十四周：弹性模量

实验 4.20 金属的杨氏模量测量（预习报告）

一、实验目的

1. 理解金属材料在弹性阶段的应力—应变关系，掌握杨氏模量 \(E\) 的物理意义。
2. 学习利用拉伸法测量金属丝杨氏模量的实验方法。
3. 掌握金属丝直径 \(d\)、长度 \(L\)、伸长量 \(\Delta L\) 的测量方法及读数技巧。
4. 学习数据处理、误差传播与不确定度计算方法，提高实验测量精度。

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二、实验仪器

• 金属丝（铁丝、铜丝或钢丝）
• 砝码及砝码托
• 金属丝拉伸夹具、支架
• 光杠杆系统或指针放大系统
• 螺旋测微器（测金属丝直径）
• 游标卡尺或钢尺（测长度）
• 读数显微镜（若设备版本包含）
• 计算机系统（若采用应力—应变曲线法）

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三、实验原理

1. 杨氏模量的定义

在线性弹性阶段，金属材料满足胡克定律：

\[\sigma = E \varepsilon \]

其中：

• 应力 \(\sigma = \dfrac{F}{S}\)
• 应变 \(\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}\)

代入得：

\[E = \frac{FL}{S \Delta L} \]

金属丝截面积为：

\[S = \frac{\pi d^2}{4} \]

代入上式可得实验常用形式：

\[E = \frac{4FL}{\pi d^2 \Delta L} \]

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2. 光杠杆放大原理

光杠杆通过一个小镜子的微小角位移放大光斑位移。

若镜子转角为 \(\theta\)，反射光偏转角为 \(2\theta\)。

几何关系得到伸长量与光斑偏移量 \(D\) 的关系：

\[\Delta L = \frac{D}{K} \]

其中 \(K\) 为光杠杆放大系数，取决于镜子与标尺的几何布置。

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3. 拉力的测量

砝码对金属丝施加的拉力为：

\[F = mg \]

增大砝码质量 \(m\)，金属丝伸长量递增，利用伸长—载荷关系即可求 \(E\)。

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4. 不确定度与误差传播

杨氏模量的相对不确定度由下式给出：

\[\left( \frac{u_E}{E} \right)^2 = \left( \frac{u_F}{F} \right)^2 + \left( \frac{u_L}{L} \right)^2 + \left( \frac{2u_d}{d} \right)^2 + \left( \frac{u_{\Delta L}}{\Delta L} \right)^2 \]

实验中直径 \(d\) 的不确定度通常对结果影响最大，因为 \(E\) 与 \(d^{-2}\) 成反比。

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四、实验操作步骤

1. 测金属丝长度 \(L\)：
   用尺子或游标卡尺测量金属丝有效工作段长度，多次测量求平均。

2. 测金属丝直径 \(d\)：
   用螺旋测微器在金属丝不同方向测量 5 次以上，求平均值，并记录仪器分辨率。

3. 安装金属丝：
   将金属丝固定在夹具与砝码托之间，并调整垂直度。

4. 调整光杠杆或读数装置：
   使光斑或指针处于适合读数的位置，记录初始零点。

5. 加载砝码：
   分级加载，记录每增加一个重量时光斑偏移量 \(D\) 或伸长量 \(\Delta L\)。

6. 卸载砝码并记录回程数据：
   用来判断是否出现塑性变形或迟滞效应。

7. 绘制 \(\Delta L - F\) 曲线：
   找到线性段并计算斜率以求杨氏模量。

8. 计算杨氏模量 \(E\) 与不确定度 \(u_E\)。