第十二周：多普勒效应
实验 4.15 多普勒效应与速度测量 预习报告
一、实验目的
- 理解多普勒效应的物理原理，掌握声源与接收者相对运动时频率变化规律。
- 学会利用超声波多普勒效应测量物体的运动速度。
- 学习马赫锥、冲击波等高速运动下的波动现象。
- 熟悉实验仪器（多普勒效应综合实验仪、电子天平、推车、绳码等）的使用方法。
二、实验原理
1. 多普勒效应（声波）
当声源静止、接收器静止时，声波频率满足
\[f_0 = \frac{u_0}{\lambda_0}
\]
当接收器以速度 (v_0) 靠近静止声源时，接收者测得的波长不变、声速相对变化，因此观测频率变为
\[f = f_0 \left(1+\frac{v_0}{u_0}\right) \tag{4.15-4}
\]
同理，当声源运动而接收器静止时，由于声源发射波阵面间距改变，观测频率为
\[f' = f_0 \frac{u_0}{u_0-v'} \tag{4.15-5}
\]
更一般地，当声源和接收器均运动且方向任意时，频率满足通用多普勒公式
\[f = f_0 \frac{u_0+v_1\cos\theta_1}{u_0-v_2\cos\theta_2} \tag{4.15-6}
\]
此处应插入：多普勒波阵面示意图（源动、源静两种情况）
2. 马赫锥与冲击波
当物体速度超过声速，即马赫数
\[M = \frac{v}{u_0} > 1
\]
波阵面会形成锥形，开角（半顶角）
\[\alpha = \arcsin\frac{1}{M} \tag{4.15-7}
\]
这是高速飞行体产生“音爆”的原因。
此处应插入：马赫锥示意图
3. 电磁波的多普勒效应（光波）
光速不随观察者运动而改变，因此 relativistic 多普勒公式为
\[t' = \frac{\lambda_0}{c+v_e} \sqrt{\frac{1-v_e^2/c^2}{1+v_e/c}} \tag{4.15-8}
\]
最终得到光波观测频率
\[f = f_0 \sqrt{\frac{1+v_e/c}{1-v_e/c}} \tag{4.15-9}
\]
主要用于天文红移和蓝移分析。
三、实验仪器
- ZKY-DPL-3 多普勒效应综合实验仪
- 超声波发射器、超声接收器
- 小车、绳码及滑车
- 电子天平
- 导轨及支架等
此处应插入：仪器整体结构图（图4.15-6 或图4.15-7）
四、实验内容
（一）声波多普勒效应实验
- 调整装置，使声波通过电磁波接收单元和声波接收单元。
- 启动实验控制器，进入“多普勒效应测量”界面。
- 设定测量次数（5~10 次）。
- 小车匀速运动，仪器自动记录声波接收频率 (f)。
- 数据记录在表 4.15-1。
（二）用多普勒效应测量速度
声波频率满足
\[f = f_0\left(1+\frac{v}{u_0}\right)
\]
小车速度
\[v = u_0\left(\frac{f}{f_0}-1\right) \tag{速度测量公式}
\]
五、实验数据整理
表 1：多普勒效应验证与声速测量
室温 24℃，谐振频率：
\[f_0 = 40002\ \text{Hz}
\]
| 次数 | v(m/s) | f(Hz) |
|---|---|---|
| 1 | 1.15 | 40134 |
| 2 | 1.01 | 40118 |
| 3 | 0.86 | 40100 |
| 4 | 0.69 | 40080 |
| 5 | 0.49 | 40058 |
（1）反算声速
多普勒公式：
\[v = u\left(\frac{f}{f_0}-1\right)
\]
反推：
\[u = \frac{v}{\frac{f}{f_0}-1}
\]
结果：
| 次数 | u(m/s) |
|---|---|
| 1 | 348.50 |
| 2 | 348.29 |
| 3 | 351.04 |
| 4 | 353.86 |
| 5 | 350.02 |
平均声速：
\[\bar u = 350.34\ \text{m/s}
\]
标准不确定度：
\[u_s = 2.27\ \text{m/s}
\]
滑车加速度测量（多普勒测速）
滑车质量：
\[M = 0.6025\ \text{kg}
\]
砝码 140.1 g
采样步距：0.015 s
| t(s) | f(Hz) |
|---|---|
| 0.375 | 40040 |
| 0.400 | 40030 |
| 0.415 | 40038 |
| 0.430 | 40038 |
| 0.445 | 40046 |
| 0.460 | 40046 |
| 0.475 | 40051 |
| 0.500 | 40053 |
| 0.530 | 40061 |
| 0.575 | 40057 |
速度公式：
\[v = u_0\left(\frac{f}{f_0}-1\right)
\]
线性拟合：
\[v(t) = at + b
\]
得到：
\[a_{140} = 1.208\ \text{m/s}^2
\]
理论加速度：
\[a = \frac{mg}{M+m} = 1.849\ \text{m/s}^2
\]
砝码 116.4 g
采样步距：0.025 s
| t(s) | f(Hz) |
|---|---|
| 0.400 | 40071 |
| 0.425 | 40075 |
| 0.450 | 40077 |
| 0.475 | 40081 |
| 0.500 | 40087 |
| 0.525 | 40087 |
| 0.550 | 40093 |
| 0.575 | 40093 |
| 0.600 | 40102 |
| 0.625 | 40104 |
拟合：
\[a_{116} = 1.261\ \text{m/s}^2
\]
理论：
\[a = 1.587\ \text{m/s}^2
\]
砝码 80 g
采样步距：0.03 s
拟合：
\[a_{80} = 1.051\ \text{m/s}^2
\]
理论：
\[a = 1.149\ \text{m/s}^2
\]
砝码 32.9 g
采样步距：0.04 s
拟合：
\[a_{33} = 0.369\ \text{m/s}^2
\]
理论：
\[a = 0.507\ \text{m/s}^2
\]
五、结果分析
- 多普勒反算声速约 350.3 m/s，与理论值 345.7 m/s 接近。
- 滑车加速度随砝码质量增大而增大，趋势正确。
- 实测加速度均小于理论值，原因：摩擦、空气阻力、轮阻力、质量误差。
- 多普勒频率分辨率有限，也会影响速度拟合。
浙公网安备 33010602011771号