bzoj 4408: [Fjoi 2016]神秘数

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 188  Solved: 137
[Submit][Status][Discuss]

Description

一个可重复数字集合S的神秘数定义为最小的不能被S的子集的和表示的正整数。例如S={1,1,1,4,13}，
1 = 1
2 = 1+1
3 = 1+1+1
4 = 4
5 = 4+1
6 = 4+1+1
7 = 4+1+1+1
8无法表示为集合S的子集的和，故集合S的神秘数为8。
现给定n个正整数a[1]..a[n]，m个询问，每次询问给定一个区间[l,r](l<=r)，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所构成的可重复数字集合的神秘数。

Input

第一行一个整数n，表示数字个数。
第二行n个整数，从1编号。
第三行一个整数m，表示询问个数。
以下m行，每行一对整数l,r，表示一个询问。

Output

对于每个询问，输出一行对应的答案。

Sample Input

5
1 2 4 9 10
5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

Sample Output

2
4
8
8
8

HINT

对于100%的数据点，n,m <= 100000，∑a[i] <= 10^9

题解：

　　先考虑答案是怎么来的，把一个区间单独抽出来，把其中的数字排序，设排序之后是a1,a2,a3,a4,a5,a6，让数字自由组合如果出现中断的地方，则这里就是神秘数。

　　一句话来说，找到最小的一个神秘数相当于找到一个数x，使得小于x的数字加起来的和小于x。举例来说：1 2 4 9 中数字8保证所有比8小的数字加和：1+2+4=7<8 ，所以8是最小的神秘数。

　　现在考虑怎么求这个数，由于是区间询问，所以可以想到可持久化线段树，每棵树都维护着1~MAX，然后就可以找到[l,r]里比x小的数的加和啦。

　　再考虑统计答案，答案有可能是1~sum，枚举答案显然不行。如果现在有1~x+1的数字加起来是y，如果y大于x，也即y大于等于x，说明x不是神秘数

可以让x更新为y，比如1 2 4 8 小于9的数字的加和为15，则1~15里的数字都可以表示出来，这可以由第二段的讲解看出来。然后可以用一个while()来表示了。

/**************************************************************
    Problem: 4408
    User: __abcdef__
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1948 ms
    Memory:37212 kb
****************************************************************/
 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100010;
int N,M,MAX,SUM,L,R,a[maxn];
struct Tree{
    int lc,rc,sum;
}T[3000000];
int root[maxn],siz;
inline void insert(int &i,int l,int r,int w){
    T[++siz]=T[i]; i=siz; T[i].sum+=w;
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(w<=mid) insert(T[i].lc,l,mid,w);
    else insert(T[i].rc,mid+1,r,w);
}
inline int query(int x,int y,int l,int r,int ll,int rr){
    if(ll<=l&&r<=rr) return T[y].sum-T[x].sum;
    int mid=(l+r)>>1;
    int ans=0;
    if(ll<=mid) ans+=query(T[x].lc,T[y].lc,l,mid,ll,rr);
    if(mid+1<=rr)  ans+=query(T[x].rc,T[y].rc,mid+1,r,ll,rr);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        MAX=max(MAX,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        root[i]=root[i-1];
        insert(root[i],1,MAX,a[i]);
    }   
    scanf("%d",&M);
    while(M--){
        scanf("%d%d",&L,&R);
        int nowsum=0,tmpsum=0;
        while(true){
            tmpsum=query(root[L-1],root[R],1,MAX,1,nowsum+1);
            if(tmpsum>nowsum) nowsum=tmpsum;
            else break;
        }
        printf("%d\n",nowsum+1);
    }
    return 0;
}