2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解：

　　题目中要求出∑gcd(i,N)(1<=i<=N)。枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=phi(n/k)，注意，这里的phi(n/k)是指小于等于n/k与n/k互质的数的个数，phi可以在根号的时间内求出。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL N,sqr,ANS;
inline LL phi(LL n){
    LL m=(LL)sqrt(n+0.5);
    LL ans=n;
    for(LL i=2;i<=m;i++){
        if(n%i==0){
            ans=(ans*(i-1))/i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ans=(ans*(n-1))/n;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld",&N); sqr=LL(sqrt(N+0.5));
    for(LL i=1;i<=sqr;i++){
        if(N%i==0){
            ANS+=phi(N/i)*i;
            if(i*i<N) ANS+=(N/i)*phi(i);
        }
    }
    printf("%lld",ANS); 
    return 0;
}