[信号与系统个人笔记]第三章 连续时间信号与系统的频域分析
Update
- 2025.8.31
- 3.1 连续时间周期信号的傅里叶级数
- 2025.9.1
- 3.2 连续时间周期信号的频谱分析
3.1连续时间周期信号的傅里叶级数
狄利克雷条件：
\[\begin{align}
&在一个周期内 :
\begin{cases}
函数连续或只有有限个第一类间断点\\ \\
有有限个极大、极小值\\ \\
函数绝对可积
\end{cases}
\end{align}
\]
三角形式的傅里叶级数
三角形式傅里叶级数的定义
给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当满足狄利克雷条件时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上的完备正交函数集合\(\{ 1,\cos n\Omega t,\sin n\Omega t \}\ \left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合 ：
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\Omega t+b_{n}\sin n\Omega t)
\]
其中：
- 直流分量：\(\frac{a_{0}}{2}\)
- \(n\)次余弦分量：\(a_{n}\cos n\Omega t\)，\(n\)次正弦分量：\(b_{n}\sin n\Omega t\)
- 基波角频率：\(\Omega=\frac{2\pi}{T}\)
- 基波频率：\(f=\frac{1}{T}\)
\[\begin{align}
&\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\
&a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\\ \\
&b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt
\end{align}
\]
三角级数的直流、基波、谐波分量
同频率项合并：(辅助角)
\[\begin{align}
&f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n})\\ \\
&其中:\\ \\
&A_{0}=a_{0},A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} },\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\\ \\
&a_{n}=A_{n}\cos \varphi_{n},b_{n}=-A_{n}\sin \varphi_{n}
\end{align}
\]
上式表明：任何满足狄利克雷条件的周期信号都可以分解为直流分量，基波分量和无穷多项谐波分量之和。其中各次谐波分量的角频率必然是基波频率的整数倍
\[\begin{align}
&直流分量:\frac{A_{0}}{2}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\\ \\
&基波分量(n=1):A_{1}\cos(\Omega t+\varphi_{1})\\ \\
&n次谐波分量(n\neq 1):A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n})
\end{align}
\]
\[f(t)=直流+基波+谐波
\]
傅里叶系数的奇偶性
将系数视为谐波次数\(n\)或者\(n\)倍基波角频率\(n\Omega\)的函数，以\(n\)或者\(n\Omega\)为自变量进行分析：
\[\begin{align}
&a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt\quad a_{-n}=a_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\
&b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\quad b_{-n}=-b_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\
&A_{n}=\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }\quad A_{-n}=A_{n}\quad 为n的偶函数\\ \\
&\varphi_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}\quad \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数
\end{align}
\]
信号的对称性与傅里叶系数的关系
信号为\(t\)的偶函数
- \(f(t)\cos n\Omega t\)为偶函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为奇函数
- \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt\)
- \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=0\)
- 此时，傅里叶级数不包含正弦项：\(f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n\Omega t\)
信号为\(t\)的奇函数
- \(f(t)\cos n\Omega t\)为奇函数，\(f(t)\sin n\Omega t\)为偶函数
- \(a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos n\Omega tdt=0\)
- \(b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin n\Omega tdt\)
- 此时，傅里叶级数不包含直流和余弦项：\(f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n\Omega t\)
信号为半波对称函数
\(f(t)=f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号沿时间轴平移半个周期以后与原波形完全重合
\[\Omega=\frac{2\pi}{T}\implies \Omega'=\frac{2\pi}{\frac{T}{2}}=\frac{4\pi}{T}=2\Omega
\]
- 信号实际周期为\(\frac{T}{2}\)，\(2\Omega\)为实际的基波角频率，故只含有\(\Omega\)的偶次谐波
- 此时傅里叶级数只含有偶次谐波，不含奇次谐波，又称为偶谐函数
- 此处的偶谐函数是相对于原函数而言的，因为实际上可以直接令\(T'=\frac{T}{2}\)
信号为半波镜像对称函数
\(f(t)=-f\left( t\pm \frac{T}{2} \right)\)信号平移半个周期以后与原波形关于横轴对称
\[\begin{align}
&a_{0}=a_{2}=\dots=a_{2n}=b_{0}=b_{2}=\dots=b_{2n}=0\\ \\
&a_{1},a_{3},\dots,a_{2n+1},b_{1},b_{3},\dots,b_{2n+1}\neq 0
\end{align}
\]
- 此时傅里叶级数只含有奇次谐波，不含偶次谐波，又称为奇谐函数
任意信号分解为偶分量和奇分量之和
\[f(t)= \frac{f(t)+f(-t)}{2}+ \frac{f(t)-f(-t)}{2}=f_{ev}(t)+f_{od}(t)
\]
其中：
- \(ev\to even,od\to odd\)
- 偶分量：\(f_{ev}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}\)
- 奇分量：\(f_{od}(t)= \frac{f(t)-f(-t)}{2}\)
指数形式的傅里叶级数
指数形式的傅里叶级数的定义
给定周期为\(T\)的周期信号\(f(t)\)，当它满足狄利克雷条件时，可以表示为\((t_{0},t_{0}+T)\)上完备正交函数集合\(\{ e^{jn\Omega t} \}\left( n\to \infty,\Omega=\frac{2\pi}{T} \right)\)中各个函数的线性组合：
\[\begin{align}
&f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}\\ \\
&F_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
\end{align}
\]
指数形式傅里叶级数中出现了负频率，负频率没有实际的物理意义，它的出现完全是采用复指数信号集合表示周期信号的结果，是数学分析的过程，当正负频率合并在一起的时候才能合成实际的频率分量
指数形式与三角形式傅里叶系数的关系
\[\begin{align}
F_{n}&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos n\Omega tdt-j \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin n\Omega tdt\\ \\
&=\frac{1}{2}(a_{n}-jb_{n})\\ \\
F_{-n}&=\frac{1}{2}(a_{-n}-jb_{-n})=\frac{1}{2}(a_{n}+jb_{n})\\ \\
\implies&\begin{cases}
a_{n}=F_{n}+F_{-n}\\ \\
b_{n}=j(F_{n}-F_{-n})
\end{cases}
\end{align}
\]
对于复数\(F_{n}\)，可以转换为\(F_{n}=|F_{n}|\cdot e^{j\cdot\angle F_{n}}\)
\[\begin{align}
&|F_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{ a_{n}^{2}+b_{n}^{2} }=\frac{1}{2}A_{n}\ ,\ |F_{n}|=|F_{-n}|\quad 为n的偶函数\\ \\
&\angle F_{n}=-\arctan \frac{b_{n}}{a_{n}}=\varphi_{n}\ ,\ \varphi_{-n}=-\varphi_{n}\quad 为n的奇函数\\ \\
&\therefore F_{n}=\frac{1}{2}A_{n}e^{j\varphi_{n}}
\end{align}
\]
例
求图示周期信号的指数形式傅里叶级数
\[\begin{align}
&T=3,\Omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3}\\ \\
F_{n}&=\frac{1}{T}\int_0^{T}f(t)e^{-jn\Omega t} dt=\frac{1}{3}\left[ 2\int_{0}^{2}e^{-jn\Omega t}dt-\int_{2}^{3}e^{-jn\Omega t}dt \right]\\ \\
&=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{j\cdot3n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{0}^{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{-j\cdot n\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{2}^{3}\\ \\
&=\frac{2-3e^{-j\cdot 2n\Omega}+e^{-j\cdot 3n\Omega}}{j\cdot 3n\Omega}\\ \\
&将\Omega=\frac{2\pi}{3}代入得:\\ \\
原式&=\frac{2-3e^{-j\cdot \frac{4\pi}{3}n}+e^{-j\cdot 2\pi n}}{j\cdot 2\pi n}\\ \\
&由于e^{-j\cdot 2\pi n}=\cos_{}2\pi n-j\cdot \sin 2\pi n=1:\\ \\
原式&=\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)\\ \\
&\therefore f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{3}{j\cdot 2\pi n}\left( 1-e^{j\cdot \frac{4\pi}{3}n} \right)e^{jn \frac{2\pi}{3}t}
\end{align}
\]
- 在最后一步化简的时候，可以将复数展开为三角形式，判断是否可以进一步整理成常数
3.2 连续时间周期信号的频谱分析
周期信号的频谱
频谱的概念
为了直观表示信号各个频率分量的分布及其所占比重，引入频谱的概念
\[\begin{align}
&幅频特性:A_{n},F_{n}\sim n\Omega\\ \\
&相频特性:\varphi_{n}\sim n\Omega
\end{align}
\]
\[频谱\begin{cases}
幅度谱(幅频特性曲线):幅度A_{n}(|F_{n}|)随离散频率n\Omega变化的图\\ \\
相位谱(相频特性曲线):相位\varphi_{n}随离散频率n\Omega变化的图
\end{cases}
\]
- 频谱为离散谱，\(\omega=n\Omega\)必然是基波\(\Omega\)的整数倍
单边频谱与双边频谱
单边频谱
\[f(t)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos(n\Omega t+\varphi_{n})
\]
信号分解为三角级数时可以用单边频谱表示，此时频谱中只有正频率分量
双边频谱
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}
\]
信号分解为指数型级数时可以用双边频谱表示，此时频谱中同时有正、负频率分量
单边频谱与双边频谱的关系
\[F_{n}=\frac{1}{2}A_{n}e^{j\varphi_{n}}
\]
- 单边幅度谱除了直流分量之外幅度减半且关于纵轴偶对称即可得到双边幅度谱
- 单边相位谱关于纵轴奇对称即可得到双边相位谱
- \(|F_{n}|= \frac{1}{2}A_{n}\)
作频谱图的说明
- 作单边频谱图：
- 需要注意周期信号各个分量必须是余弦\(\cos\)函数相加的形式，若所给的信号里有\(sin\)形式的分量，则需要通过诱导公式转化成\(\cos\)函数的形式
- 若有符号为负的\(\cos\)项，则需要通过三角公式转为正项的\(\cos\)函数进行分析
- 当指数形式的傅里叶级数系数为非零实数时：
- 相位只有0（对应正系数）和\(\pi\)（对应负系数）两种情况
- 相位为\(0,\pi\)时，复数展开为三角形式的\(j\sin \theta\)项为0
- 此时的幅度谱和相位谱可以用同一个频谱图表示，正谱线代表0相位，负谱线代表\(\pi\)相位
这一块不是很懂
例
已知某一个周期信号的傅里叶级数展开式为：
\[f(t)=1-\frac{1}{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}t- \frac{2\pi}{3} \right)+\frac{1}{4}\sin\left( \frac{\pi}{3}t- \frac{\pi}{6} \right)
\]
试求基波角频率\(\Omega\)，谐波的次数
\[\begin{align}
&\omega_{1}=\frac{\pi}{4}\quad \omega_{2}=\frac{\pi}{3}\implies T_{1}=8\quad T_{2}=6\\ \\
&\therefore T=lcm(T_{1},T_{2})=24\quad \Omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{12}\\ \\
&f(t)=1-\frac{1}{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}t+ \frac{\pi}{3}-\pi \right)+\frac{1}{4}\sin\left( \frac{\pi}{3}t- \frac{2\pi}{3}+ \frac{\pi}{2} \right)\\ \\
&=1+\frac{1}{2}\cos\left( \frac{\pi}{4}t+ \frac{\pi}{3} \right)+\frac{1}{4}\cos\left( \frac{\pi}{3}t - \frac{2\pi}{3}\right)\\ \\
&=1+\frac{1}{2}\cos\left( 3\Omega t+\frac{\pi}{3} \right)+\frac{1}{4}\cos\left( 4\Omega t- \frac{2\pi}{3} \right)\\ \\
& \frac{A_{0}}{2}=1\ ,\ A_{3}=\frac{1}{2}\ ,\ \varphi_{3}=\frac{\pi}{3}\ ,\ A_{4}=\frac{1}{4}\ ,\ \varphi_{4}=-\frac{2\pi}{3}\\ \\
&谐波的次数为3,4
\end{align}
\]
周期信号频谱的特点
以周期矩形脉冲信号为例讨论周期信号频谱的特点：
\[\begin{align}
F_{n}&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-jn\Omega t}dt\\ \\
&=\frac{1}{T}\cdot \frac{1}{-jn\Omega}e^{-jn\Omega t}\bigg|_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}=\frac{2}{T}\cdot \frac{1}{2jn\Omega}\left( e^{jn\Omega\frac{\tau}{2}}-e^{-jn\Omega \frac{\tau}{2}} \right)\\ \\
&而 \sin \theta= \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}:\\ \\
原式&=\frac{2}{Tn\Omega}\sin \left( n\Omega \frac{\tau}{2} \right)=\frac{2}{Tn\Omega}\cdot \frac{\sin\left( n\Omega \frac{\tau}{2} \right)}{n\Omega \frac{\tau}{2}}\cdot n\Omega \frac{\tau}{2}\\ \\
&而 Sa(t)= \frac{\sin t}{t}: \\ \\
原式&=\frac{\tau}{T}Sa\left( n\Omega \frac{\tau}{2} \right)
\end{align}
\]
结论：
\[F_{n}=\frac{\tau}{T}Sa\left( n\Omega \frac{\tau}{2} \right)
\]
寻找频谱的过零点：
- 由于频谱函数为定义域离散的\(Sa\)函数\(Sa(t)=\frac{\sin t}{t}\)，所以函数分子中的\(\sin\)为0时即为函数的零点
- 令\(n\Omega \frac{\tau}{2}=\pm m\pi\ (m=1,2,\dots)\)
- 过零点：\(n\Omega=\pm \frac{2m\pi}{\tau}\)
- 当\(T=k\tau\)时，\(n\Omega=m\cdot k\Omega\)，过零点为\(\pm k\Omega,\pm 2k\Omega, \dots\)
- 此时，相邻的两个过零点间有\(k\)个谱线间隔
周期信号频谱的性质
- 离散性：
- 谱线只出现在\(\omega=0,\Omega,2\Omega, \dots\)的离散频率点上，谱线最小间隔为\(\Omega\)，为离散谱
- 谐波性：
- 周期信号所含频率分量的频率均为信号角频率\(\Omega\)，即 基波角频率的整数倍
- 收敛性：
- 谐波分量幅度随着\(n\)的增大而减小，\(n\to \infty\)时，\(F_{n}\to 0\)
其他周期信号的频谱也具有这三个性质
周期信号的有效频带宽度（带宽）
带宽： 离散频谱的第一过零点带宽，有两种表示形式：
\[B_{\omega}=\frac{2\pi}{\tau}(rad/s) \quad B_{f}=\frac{1}{\tau}(Hz)
\]
- 信号的有效带宽内集中了信号绝大部分的谐波能量，若丢失有效 带宽之外的谐波成分，对信号影响不明显
- 脉冲时域宽度\(\tau\)越小，传输速率越高，但同时所需要的带宽\(B_{\omega}\)越大，是一对矛盾
脉冲宽度与信号周期对频谱的影响
- \(T\)不变，\(\tau\)变：
- \(T\)相同，谱线的间隔不变
- 由于\(B_{\omega}=\frac{2\pi}{\tau}\)，\(\tau\)越小，带宽越大，第一个过零点的频率越高
- \(\tau\)不变，\(T\)变：
- \(\tau\)不变，\(B_{\omega}\)不变，第一过零点频率不变
- 由于\(\Omega=\frac{2\pi}{T}\)，\(T\)越小，\(\Omega\)越大，谱线的间隔越大
总而言之：
\[\begin{align}
B_{\omega}&\propto \frac{1}{\tau}\\ \\
\Omega &\propto \frac{1}{T}
\end{align}
\]
- 注意：当周期无限大时，谱线无限密集，幅度无限小，需要用密度来描述
周期信号的功率
\[\begin{align}
&三角级数:P=\left( \frac{A_{0}}{2} \right)^{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_{n}^{2}}{2}\\ \\
&指数级数:P=|F_{0}|^{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}|F_{n}|^{2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_{n}|^{2}
\end{align}
\]
- 对于任意余弦信号的功率的有效值，都等于\(\frac{A_{n}}{\sqrt{ 2 }}\)，\(P=I^{2}Rt=I^{2}\)
- 上述两个功率的表达式称为功率信号的帕斯瓦尔\(Parseval\)恒等式，说明了周期信号平均功率和信号频谱中各个分量功率的关系
周期信号功率谱
- 对于不同的频率分量，\(|F_{n}|^{2}\)或\(\frac{A_{n}^{2}}{2}\)随离散频率\(n\Omega\)分布的特性称为周期信号的功率谱
例
已知周期信号\(f(t)\)的双边频谱如图所示，写出\(f(t)\)指数以及三角形式的傅里叶级数
\[\begin{align}
&由图可知:\\ \\
&F_{n}\sim\left\{
\begin{array}{c}
-2&-1&0&1&2\ \\
e^{-j \frac{\pi}{3}} &2e^{-j \frac{2\pi}{3}}&2&2e^{j \frac{2\pi}{3}}&e^{j \frac{\pi}{3}}
\end{array}
\right\}\\ \\
&而f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}e^{jn\Omega t}\quad 且由图知:间隔\Omega=1\\ \\
&\therefore f(t)=2+2e^{j\left( t+ \frac{2\pi}{3} \right)}+2e^{-j\left( t+ \frac{2\pi}{3} \right)}+e^{j\left( 2t+ \frac{\pi}{3} \right)}+e^{-j\left( 2t+ \frac{\pi}{3} \right)}\quad 即为指数形式\\ \\
&由\sin \theta= \frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}:\\ \\
&f(t)=2+4\cos\left( t+ \frac{2\pi}{3} \right)+2\cos\left( 2t+\frac{\pi}{3} \right)\quad 即为三角形式
\end{align}
\]
- 在写出指数形式之后，由于其对称性可以利用欧拉公式快速写出三角形式
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