[信号与系统个人笔记]第二章连续时间信号与系统的时域分析

Update

2025.8.25
- 2.1 系统微分方程的经典解
2025.8.26
- 2.2 零输入响应与零状态响应
2025.8.27
- 2.3 单位冲激响应与单位阶跃响应
2025.8.28
- 2.4 卷积积分 part1
2025.8.29
- 2.4 卷积积分 part2
- 2.4* 互相关函数与自相关函数

2.1 系统微分方程的经典解

微分方程的基本概念

对于单输入单输出的\(LIT\)连续系统来说，描述其输入-输出关系的数学模型是\(n\)阶常系数线性微分方程，一般形式为：

\[a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\dots+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=b_{m}e^{(m)}(t)+b_{m-1}e^{(m-1)}(t)+\dots+b_{1}e'(t)+b_{0}e(t) \]

\[\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m}b_{j}e^{(j)}(t) \]

初始条件：\(n\)阶系统在\(t=0\)时候接入激励，响应在\(t=0_{+}\)时刻的值：
- 初始条件表示激励接入后的瞬间

\[y^{(j)}(0_{+})\ (j=0,1,2,\dots,n-1) \]

初始状态：\(n\)阶系统在激励没有接入的\(t=0\)时刻的响应值，该值反映了系统的历史情况，与激励无关：
- 初始状态表示激励接入前的瞬间

\[y^{(j)}(0_{-})\ (j=0,1,2,\dots,n-1) \]

微分方程的经典解

齐次解\(y_{h}(t)\)

微分方程右侧为零时称为齐次方程，即\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=0\)
齐次解指齐次方程的解，只由系统的特征根决定

\(n\)阶微分方程的齐次解

\[y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\dots+a_{0}y(t)=0 \]

特征方程：

\[\lambda^{n}+a_{n-1}+\lambda^{n-1}+\dots+a_{1}\lambda+a_{0}=0 \]

其中\(\lambda_{i}\)为方程的特征根

特征根均为单根：\(y_{h}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t}=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}+\dots+C_{n}e^{\lambda_{n}t}\)
特征根含有\(r\)重根\(\lambda_{i}\)：\(r\)重根对应\((C_{1}t^{r-1}+C_{2}t^{r-2}+\dots+C_{r-1}t+C_{r})e^{\lambda_{i}t}\)
特征根含共轭复根\(\lambda_{1,2}=\alpha\pm j\beta\)：共轭复根对应的解为：
- \(e^{\alpha t}[C_{1}\cos \beta t+C_{2}\sin \beta t]\)
- \(Ae^{\alpha t}\cos(\beta t-\theta),Ae^{j\theta}=C_{1}+jC_{2}\)（辅助角公式）

\(n\)阶微分方程的特解\(y_{p}(t)\)

形如\(y''+py'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)\)：

设特解形如：\(y^{*}=x^{k}e^{\lambda x}Q_{m}(x)\)
其中\(Q_{m}(x)\)为一个待定的\(m\)次多项式

\[k= \begin{cases} 0\ ,\ \lambda不是特征根\\ \\ 1\ ,\ \lambda是单特征根\\ \\ 2\ ,\ \lambda是二重特征根 \end{cases} \]

将\(y^{*}\)回带原微分方程确定系数即可

形如\(y''+py'+qy=e^{\lambda x}[P_{l}(x)\cos \omega x+P_{n}(x)\sin \omega x]\)：

设特解形如\(y^{*}=x^{k}e^{\lambda x}[Q_{1}(x)\cos \omega x+Q_{2}(x)\sin \omega x]\)
其中\(Q_{1}(x),Q_{2}(x)\)为待定\(m\)次多项式，\(m=max\{ l,n \}\)

\[k=\begin{cases} 0\ ,\ \lambda\pm j\omega不是特征根\\ \\ 1\ ,\ \lambda\pm j\omega是特征根 \end{cases} \]

将\(y^{*}\)回带原微分方程确定系数即可

\(n\)阶微分方程的全解\(y(t)\)

\(y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)\)
此时齐次解中还有待定系数\(C_{i}\)，\(n\)阶微分方程需要利用\(n\)个初始条件\(y(0_{+}),y'(0_{+}),\dots,y^{(n-1)}(0_{+})\)来确定
齐次解\(y_{h}(t)\)又被称作自由响应
特解\(y_{p}(t)\)又被称作强迫响应

自由响应与强迫响应

自由响应：仅与系统本身特性有关，而与激励的形式无关，其次解仅与系统特征根有关，特征根成为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应
强迫响应：与激励的函数形式有关，特解的形式与激励的形式有关，常称为强迫响应

暂态响应和稳态响应

暂态响应：指响应中暂时出现的分量，随着时间增长\(t\to \infty\)，它将消失\(\to 0\)
稳态响应：指稳定的分量，常以阶跃函数\(\varepsilon(t)\)和周期函数\(\sin \omega t,\cos \omega t\)等形式存在
对于\(LTI\)连续系统的微分方程\(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=\varepsilon(t)\)以及全响应\(y(t)=-e^{-2t}+3\)
- 暂态响应为\(-e^{-2t}\)，稳态响应为\(3\)
- 自由响应为\(-e^{-2t}\)，强迫响应为\(3\)

初始状态和初始条件的讨论

实际中，往往先得知系统的初始状态，即先得知激励接入前系统的历史信息
由于激励的接入，从\(0_{-}\)时刻过渡到\(0_{+}\)时刻之后，初始状态和初始条件往往不一样，我们用跳变量表示这个变化
求解微分方程需要从已知的初始状态\(y^{(j)}(0_{-})\)求得初始条件\(y^{(j)}(0_{+})\)

基本思路

如果激励加入后，在方程右端出现\(\delta(t)\)及其各阶导数，则在方程左端也应有与之对应的\(\delta(t)\)及其各阶导数项，使方程两段平衡
冲激函数的产生，意味着方程左端\(y^{d(i)}(t)\)中的某些项在\(t=0\)处有阶跃的跳变
两种求解初始条件的主要方法：待定系数法和冲激平衡法，后续做题主要使用后者

例

某\(LTI\)连续系统的微分方程为\(y''(t)+4y'(t)+3y(t)=e''(t)+2e'(t)+e(t)\)，已知系统激励\(e(t)=\varepsilon(t)\)，系统的初始状态为\(y(0_{-})=0,y'(0_{-})=1\)，试求系统的初始条件\(y(0_{+}),y'(0_{+})\)

法1：待定系数法

\[\begin{align} &设y''(t)=\delta'(t)+a\delta(t)+\varepsilon(t)\\ \\ &积分得y'(t)=\delta(t)+a\varepsilon(t)\quad y(t)=\varepsilon(t)\\ \\ &带入原微分方程,只关注冲激项得:\\ \\ &\delta'(t)+(4+a)\delta(t)=\delta'(t)+2\delta(t)\\ \\ &对比得4+a=2\to a=-2\\ \\ &则\begin{cases} y'(t)=\delta(t)-2\varepsilon(t)\\ \\ y(t)=\varepsilon(t) \end{cases}\\ \\ &\begin{cases} y'(0_{+})=y'(0_{-})+y_{e}'(0_{+})=1-2=-1\\ \\ y(0_{+})=y(0_{-})+y_{e}(0_{+})=0+1=1 \end{cases} \end{align} \]

法2：冲激平衡阵列

~~暂时还听不懂这部分，等明白了再回来重新写~~

2.2 零输入响应与零状态响应

零输入响应\(zero\ input:y_{zi}(t)\)

零输入响应指的是激励为零\(e(t)=0\)时，仅由初始状态引起的响应
由于激励为零，因此\(y_{zi}(t)\)对应的齐次方程\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=0\)
零输入响应由特征根决定，形式为齐次解。当特征根均为单实根时，零输入的响应形式为：

\[y_{zi}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_{xi}e^{\lambda_{i}t},t\geq 0 \]

确定待定系数\(C_{xi}\)：由初始状态\(y^{(j)}(0_{-})\)确定，由于没有激励，此时系统的初始状态就是零输入响应的初始条件，即\(y_{zi}^{(j)}(0_{+})=y^{(j)}(0_{-})\)

零状态响应\(zero\ state: y_{zs}(t)\)

零状态响应指的在初始状态为零时，仅由激励引起的响应
此时\(y_{zs}(t)\)对应非齐次方程\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m}b_{j}e^{(j)}(t)\)
零状态响应包含响应的齐次解和特解两部分，当特征根均为单实根时，零状态响应的形式为：

\[y_{zs}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_{si}e^{\lambda_{i}t}+y_{p}(t)\quad t>0 \]

确定待定系数\(C_{si}\)：
- 由零状态初始条件\(y_{zs}^{(j)}(0_{+})\)确定
- \(y_{zs}^{(j)}(0_{+})=跳变量\)，通过冲激平衡法确定

全响应

\[y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t) \]

\[\sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t}+y_{p}(t)=\sum_{i=1}^{n}C_{xi}e^{\lambda_{i}t}+\sum_{i=1}^{n}C_{si}e^{\lambda_{i}t}+y_{p}(t)\ ,\ t>0 \]

对于\(\sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t}+y_{p}(t)\)，初始条件=初始状态+跳变量
对于\(\sum_{i=1}^{n}C_{xi}e^{\lambda_{i}t}\)，初始条件=初始状态
对于\(\sum_{i=1}^{n}C_{si}e^{\lambda_{i}t}+y_{p}(t)\)，初始条件=跳变量

辨析：待定系数\(C_{xi},C_{si}\)与齐次解待定系数\(C_{i}\)的区别：

零输入响应包含一部分齐次解，零状态响应包含另一部分齐次解以及特解
待定系数满足\(C_{i}=C_{xi}+C_{si}\)

求解思路总结

例

某\(LTI\)连续系统的微分方程为\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=\delta'(t)+2\delta(t)+3\varepsilon(t)+4t\cdot\varepsilon(t)\)，初始状态\(y(0_{-})=1,y'(0_{-})=3\)，求系统的零输入响应\(y_{zi}(t)\)，零状态响应\(y_{zs}(t)\)，与全响应\(y(t)\)

\[\begin{align} &求y_{zi}(t):\\ \\ &齐次方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0的特征方程为:\\ \\ &r^{2}+3r+2=0\ ,\ r_{1}=-1,r_{2}=-2\\ \\ &y_{zi}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}\\ \\ &带入初始状态得:\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1\\ \\ -C_{1}-C_{2}=3 \end{cases}\\ \\ &解得C_{1}=5,C_{2}=-4\\ \\ &\therefore y_{zi}(t)=(5e^{-t}-4e^{-2t})\varepsilon(t) \end{align} \]

\[\begin{align} &求y_{zs}(t):\\ \\ &设特解y^{*}=At+B\ ,\ (y^{*})'=A\\ \\ &带入原微分方程得A=2,B=-\frac{3}{2}\\ \\ &则y_{zs}(t)=\left( C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}+2t-\frac{3}{2} \right)\varepsilon(t) \end{align} \]

列冲激平衡阵列：

代入区	配凑区	积分区	积分区
\(y''\)	\(\delta'(t)-\delta(t)\)	\(\delta'(t)\)	\(-\delta(t)\)
\(3y'\)	\(3\delta(t)\)	\(\delta(t)\)	\(-\varepsilon(t)\)
\(2y\)		\(\varepsilon(t)\)

\[\begin{align} &由冲激平衡阵列得:\\ \\ &\begin{cases} y_{zs}(0_{+})=1\\ \\ y'_{zs}(0_{+})=-1 \end{cases} \ ,\ 代入y_{zs}(t)得:\\ \\ &\begin{cases} C_{1}+C_{2}-\frac{3}{2}=1\\ \\ -C_{1}-2C_{2}=-3 \end{cases}\\ \\ &解得C_{1}=2,C_{2}=\frac{1}{2}\\ \\ &则y_{zs}(t)=\left( 2e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}+2t-\frac{3}{2} \right)\varepsilon(t)\\ \\ &\therefore y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=\left( 7e^{-t}-\frac{7}{2}e^{-2t}+2t-\frac{3}{2} \right)\varepsilon (t) \end{align} \]

本题为我自己编写的，如果有问题欢迎及时指出！

2.3 单位冲激响应与单位阶跃响应

单位冲激响应\(h(t)\)

单位冲激信号的定义

\[h(t)=T[\{ x(0)=0 \},\{ e(t)=\delta(t) \}] \]

激励为冲激信号\(\delta(t)\)时，\(LTI\)系统的零状态响应称为单位冲激响应，记为\(h(t)\)

单位冲激响应的形式

设方程左边\(y^{(n)}(t)\)为导数最高阶项，\(e^{(m)}(t)\)为导数最高阶项：

\(n>m\)：
- \(h(t)=\left( \sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t} \right)\varepsilon(t)\)
- 单位冲激响应与齐次解形式完全一致
\(n=m\)：
- \(h(t)=C_{0}\delta(t)+\left( \sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t} \right)\varepsilon(t)\)
- 依据冲激平衡，多出冲激项
\(n<m\)：
- \(C_{0}\delta(t)+C_{0(1)}\delta'(t)+\dots+C_{0(n-m)}\delta^{(n-m)}(t)+\left( \sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{\lambda_{i}t} \right)\varepsilon(t)\)

\[初始状态h^{(j)}(0_{-}) \xrightarrow{冲激平衡法}初始条件h^{(j)}(0_{+})=跳变量 \]

例

某\(LTI\)连续系统的微分方程为\(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=e'''(t)+2e'(t)\)，求系统的单位冲激响应\(h(t)\)

\[\begin{align} &已知:h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta'''(t)+2\delta'(t)\\ \\ &齐次方程对应的特征方程为:r^{2}+5r +6=0,r_{1}=-2,r_{2}=-3\\ \\ &齐次解为C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-3t}\\ \\ \end{align} \]

列冲激平衡阵列：

代入区	配凑区	积分区	积分区	积分区	积分区
\(h''\)	\(\delta'''-5\delta''+21\delta'-75\delta\)	\(\delta'''\)	\(-5\delta''\)	\(+21\delta'\)	\(-75\delta\)
\(5h'\)	\(5\delta''-25\delta'+105\delta\)	\(\delta''\)	\(-5\delta'\)	\(+21\delta\)	\(-75\varepsilon\)
\(6h\)	\(6\delta'-30\delta\)	\(\delta'\)	\(-5\delta\)	\(+21\varepsilon\)

\[\begin{align} &由冲激平衡阵列可知:h(0_{+})=21,h'(0_{+})=-75\\ \\ &代入原方程得:\begin{cases} C_{1}+C_{2}=21\\ \\ -2C_{1}-3C_{2}=-75 \end{cases}\\ \\ &解得:C_{1}=-12,C_{2}=33\\ \\ &则h(t)=(-12e^{-2t}+33e^{-3t})\varepsilon(t)+\delta'(t)-5\delta'(t) \end{align} \]

注意最后计算\(h(t)\)的时候，需要将冲激平衡阵列中的最后一行的变量加上！！

单位阶跃响应\(g(t)\)

单位阶跃响应的定义

\[g(t)=T[\{ x(0)=0 \},\{ e(t)=\varepsilon(t) \}] \]

激励为单位阶跃信号\(\varepsilon(t)\)时，\(LTI\)系统的零状态响应称为单位阶跃响应，记为\(g(t)\)
此时微分方程对应非齐次方程，单位阶跃响应可能包含特解，按照求解一般零状态响应的思路做即可

\(h(t)\)与\(g(t)\)的关系

\[\begin{align} &\begin{cases} h(t)=T[\{ x(0)=0 \},\{ e(t)=\delta(t) \}] =F(\delta(t))\\ \\ g(t)=T[\{ x(0)=0 \},\{ e(t)=\varepsilon(t) \}]=F(\varepsilon(t)) \end{cases}\\ \\ &由于T为LTI系统,具有线性性质,且\delta(t)=\varepsilon'(t)\\ \\ &则h(t)=F(\delta(t))=F(\varepsilon'(t))=F'(\varepsilon(t))=g'(t)\\ \\ &同理,由于\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(x)dx\\ \\ &则g(t)=F(\varepsilon(t))=F\left( \int_{-\infty}^{t}\delta(x)dx \right)=\int_{-\infty}^{t}F(\delta(x))dx=\int_{-\infty}^{t}h(x)dx \end{align} \]

\(h(t)=g'(t)\)，\(g(t)=\int_{-\infty}^{t}h(x)dx\)
单位冲激响应完全由系统微分方程决定，可表征系统特性，可以用\(h(t)\)，\(g(t)\)表征系统，判断系统的因果性、稳定性等特性

2.4 卷积积分

卷积积分的定义

\[f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau \]

积分式中，\(\tau\)是为了防止变量混淆而虚设的积分变量
卷积积分的最终结果是一个新的连续函数，自变量仍然为时间\(t\)
卷积积分实质上是一个关于位移量\(t\)的连续时间函数

换为算法竞赛中的卷积和来理解：

\[(f_{1}*f_{2})(t)=\sum_{i+j=t}f_{1}(i)\times f_{2}(j) \]

实际上就是将求和换为了积分，本质上是离散与连续的区别

卷积积分的求解

解析法

关键： 依据信号的形式确定积分的区间，从而确定卷积结果的信号形式

若\(f_{1}(t)\)是因果信号，即\(f_{1}(t)=0,t<0\)，\(f_{2}(t)\)不受限制，则：

\[f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{+\infty}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau\quad \tau>0 \]

若\(f_{2}(t)\)是因果信号，即\(f_{2}(t)=0,t<0\)，\(f_{1}(t)\)不受限制，则：

\[f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau\quad t-\tau>0\to \tau<t \]

若\(f_{1}(t),f_{2}(t)\)均为因果信号，\(f_{1}(t)=f_{2}(t)=0,t<0\)，则：

\[f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau\quad \tau>0,t-\tau> 0\to 0<\tau<t \]

例

\[\begin{align} &1)计算t\varepsilon(t)*e^{-t}\varepsilon(t):\\ \\ 解:&\\ \\ &\begin{cases} \tau>0\\ \\ t-\tau>0 \end{cases}\to 0<\tau<t\\ \\ 原式&=\int_{0}^{t}\tau e^{-t+\tau}d\tau=e^{-t}\int_{0}^{t}\tau e^{\tau}d\tau=e^{-t}\int_{0}^{t}\tau de^{\tau}\\ \\ &=e^{-t}\left[ \tau e^{\tau}\bigg|_{0}^{t}\varepsilon(t)-\int_{0}^{t}e^{\tau}d\tau \right]=e^{-t}[te^{t}-e^{t}+1]\varepsilon(t)\\ \\ &=(t-1+e^{-t})\varepsilon(t) \end{align} \]

\[\begin{align} 2)&计算\varepsilon(t+2)*\varepsilon(t-3):\\ \\ 解:&\\ \\ &\begin{cases} \tau+2>0\\ \\ t-\tau-3>0 \end{cases}\to-2<\tau<t-3\\ \\ & -2<t-3 \to t>1 \\ \\ 原式&=\int_{-2}^{t-3}d\tau=(t-1)\varepsilon(t-1) \end{align} \]

需要特别注意，除了计算\(\tau\)的范围以确定积分上下限以外，还需要计算\(t\)的取值范围以确定最后的\(\varepsilon\)函数
经典结论：\(\varepsilon(t)*\varepsilon(t)=t\varepsilon(t)\)

图解法

变量置换：\(f_{1}(t)\to f_{1}(\tau),f_{2}(t)\to f_{2}(\tau)\)，作出\(f_{1}(\tau),f_{2}(\tau)\)的波形
波形反折：\(f_{2}(\tau)\to f_{2}(-\tau)\)，作出关于纵轴翻折的波形
- 由于卷积具有交换律，翻转\(f_{1}(\tau)\)也可以
波形移位：\(f_{2}(-\tau)\to f_{2}(t-\tau)\)，沿着\(\tau\)轴平移一个\(t\)的值，得到\(f_{2}(t-\tau)\)
函数相乘：将移位后的函数\(f_{2}(t-\tau)\)与\(f_{1}(\tau)\)相乘，得到卷积积分的被积函数\(f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)\)
求解积分：若\(f_{1}(\tau)\)与\(f_{2}(t-\tau)\)的波形有重叠，则卷积积分为重叠区间上的积分；若波形无重叠，则卷积积分为0
时间遍历：令\(t\)在\((-\infty,+\infty)\)内变化，重复上述步骤最终解出卷积

卷积积分的性质

任意信号的分解

\[f(t)\approx \hat{f(t)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta)g_{\Delta}(t-n\Delta)\cdot \Delta \]

\(\Delta\to 0\)时：

\(\Delta\to d\tau\)，分割无限密集，变为无穷小量
\(n\Delta\to \tau\)，离散时间\(\to\)连续时间
\(g_{\Delta}(t-n\Delta)\to \delta(t-\tau)\)，门函数\(\to\)冲激信号
\(f(n\Delta)\to f(\tau)\)，离散取值\(\to\)连续函数
\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\to \int_{-\infty}^{+\infty}\)

\[f(t)=\lim_{ \Delta \to 0 }\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n\Delta)g_{\Delta}(t-n\Delta)\cdot \Delta=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \]

即：

\[f(t)=f(t)*\delta(t) \]

任意信号可以用一系列单位冲激信号及其位移信号的线性组合表示

借助单位冲激响应与卷积积分求解系统的零状态响应

\[e(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \]

\[\begin{align} \begin{array} &单位冲激响应:&\delta(t)\to h(t)\\ \\ 时不变性:&\delta(t-\tau)\to h(t-\tau)\\ \\ 齐次性:&e(\tau)\delta(t-\tau)\to e(\tau)h(t-\tau)\\ \\ 叠加性:&\int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)\delta(t-\tau )d\tau \to \int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)h(t-\tau)d\tau \end{array} \end{align} \]

\[y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)h(t-\tau)d\tau=e(t)*h(t) \]

连续系统的零状态响应为激励信号和系统单位冲激响应的卷积积分

\[y_{zs}(t)=e(t)*h(t) \]

代数性质

交换律：\(f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{2}(t)*f_{1}(t)\)，卷积积分中反折函数可以任选
分配率：\(f_{1}(t)*[f_{2}(t)+f_{3}(t)]=f_{1}(t)*f_{2}(t)+f_{1}(t)*f_{3}(t)\)
结合律：\(f_{1}(t)*[f_{2}(t)*f_{3}(t)]=[f_{1}(t)*f_{2}(t)]*f_{3}(t)\)

复合系统的冲激响应

\[y_{zs}(t)=e(t)*h(t) \]

\(h(t)=h_{1}(t)*h_{2}(t)\)
\(n\)个级联子系统的等效冲激相应为\(n\)个子系统冲激相应卷积

\(h(t)=h_{1}(t)+h_{2}(t)+\dots+h_{n}(t)\)
\(n\)个并联子系统的等效冲激响应为\(n\)个子系统的冲激响应之和

移位性质

\[\begin{align}{} &f_{1}(t)*f_{2}(t-t_{0})=f_{1}(t-t_{0})*f(t)=f(t-t_{0}) \\ \\ &f(t-t_{1})*f_{2}(t-t_{2})=f_{1}(t-t_{2})*f_{2}(t-t_{1})=f(t-t_{1}-t_{2}) \end{align} \]

参与卷积的两个函数，有一个移位，整体就会产生相同的移位

奇异函数的卷积特性

冲激信号的卷积

\[\begin{cases} f(t)*\delta(t)=\delta(t)*f(t)\\ \\ f(t)*\delta(t-t_{0})=\delta(t-t_{0})*f(t)=f(t-t_{0}) \end{cases} \]

函数卷积冲激函数等于其本身，卷积位移的冲激函数等于该函数本身进行移位：重现性质

冲激偶信号的卷积

\[\begin{align} &f(t)*\delta'(t)=f'(t)\\ \\ &f(t)*\delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t) \end{align} \]

函数卷积冲激偶信号相当于对函数求导

阶跃信号的卷积

\[f(t)*\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \]

函数与阶跃函数卷积，相当于对函数积分

利用卷积积分构造周期信号

\[f_{T}(t)=f_{0}(t)*\delta_{T}(t)=f_{0}(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_{0}(t-nT) \]

可以利用第一个周期内的信号脉冲单体\(f_{0}(t)\)和周期为\(T\)的冲激串信号的卷积积分构造周期信号

卷积的微分与积分

\[\begin{align} &微分性质:\frac{d}{dt}[f_{1}(t)*f_{2}(t)]=\frac{d}{dt}f_{1}(t)*f_{2}(t)=f_{1}(t)* \frac{d}{dt}f_{2}(t)\\ \\ &积分性质:\int_{-\infty}^{t}[f_{1}(x)*f_{2}(x)]dx=\int_{-\infty}^{t}f_{1}(x)dx*f_{2}(t)=f_{1}(t)*\int_{-\infty}^{t}f_{2}(x)dx \end{align} \]

对两个函数卷积积分的结果求导/积分，等于先对其中任一函数求导/积分后再卷积

\[微积分性质:f_{1}(t)*f_{2}(t)=\frac{d}{dt}f_{1}(t)*\int_{-\infty}^{t}f_{2}(x)dx=\int_{-\infty}^{t}f_{1}(x)dx* \frac{d}{dt}f_{2}(t) \]

两个函数卷积积分的结果，等于先对其中任一函数求导，再对另一个函数积分，然后两个函数再卷积

例

1）：

\[\begin{align} &求e^{-2t}\varepsilon(t)*\delta'' (t-1)*[t\varepsilon(t)]: \\ \\ 解:&\\ \\ 原式&=e^{-2t}\varepsilon(t)*\int_{-\infty }^{t}dx \int_{-\infty}^{x}\delta''(y-1)dy\ * \frac{d^2}{dt^2}[t\varepsilon(t)]\\ \\ &=e^{-2t}\varepsilon(t)*\delta(t-1)*\delta(t)=e^{-2t}\varepsilon(t)*\delta(t-1)\\ \\ &=e^{-2t+2}\varepsilon(t-1) \end{align} \]

在注意到卷积函数中需要积分操作时，可以对其中一项积分另一项微分来转化（卷积的微积分性质）

2）：
已知某线性时不变系统的冲激响应\(h(t)=\cos t\cdot \varepsilon(t)\)，\(e(t)\)为下图，求系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)

\[\begin{align} &利用门函数可构造得e(t)=g_{\pi}(t)*g_{\pi}(t)=[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-\pi)]*[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-\pi)]\\ \\ y_{zs}(t)&=h(t)*e(t)=h^{(-2)}(t)*g_{\pi}'(t)*g_{\pi}'(t)\\ \\ &=h^{(-2)}(t)*[\delta(t)-\delta(t-\pi)]*[\delta(t)-\delta(t-\pi)]\\ \\ &=h^{(-2)}(t)*[\delta(t)-2\delta(t-\pi)+\delta(t-2\pi)]\\ \\ h^{(-2)}(t)&=\int_{-\infty}^{t}dt\int_{-\infty}^{x}\cos y\varepsilon(y)dy=\int_{-\infty}^{t}\sin x\varepsilon(x)dx\\ \\ &=(1-\cos t)\varepsilon(t)\\ \\ y_{zs}(t)&=(1-\cos t)\varepsilon(t)*[\delta(t)-2\delta(t-\pi)+\delta(t-2\pi)]\\ \\ &=(1-\cos t)\varepsilon(t)-2(1-\cos (t-\pi))\varepsilon(t-\pi)+(1-\cos(t-2\pi))\varepsilon(t-2\pi)\\ \\ &=(1-\cos t)\varepsilon(t)-2(1+\cos t)\varepsilon(t-\pi)+(1-\cos t)\varepsilon(t-2\pi) \end{align} \]

实际上直接画出\(e'(t)\)以及\(e''(t)\)的图像更容易做，上述过程采用的是门函数构造法

常用子系统的单位冲激响应

2.4* 互相关函数与自相关函数

互相关和自相关函数的定义

为了比较某信号与另一延时\(\tau\)信号之间的相似度，需要引入相关函数的概念，相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似

互相关函数

已知实函数\(f_{1}(t),f_{2}(t)\)均为能量信号，则他们之间的互相关函数定义为：

\[\begin{align} &R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(t)f_{2}(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(t+\tau)f_{2}(t)dt\\ \\ &R_{21}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(t-\tau)f_{2}(t)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(t)f_{2}(t+\tau)dt \end{align} \]

注意：角标中前面的信号领先时间\(\tau\)
互相关函数是两信号时间差\(\tau\)的函数
一般\(R_{12}(\tau)\neq R_{21}\)
\(R_{12}(\tau)=R_{21}(-\tau)\)

自相关函数

如果实函数\(f_{1}(t),f_{2}(t)\)是同一个信号\(f(t)\)，此时无需区分\(R_{12},R_{21}\)，直接用\(R(t)\)表示，称为自相关函数

\[R(\tau)=\int_{-\infty }^{+\infty}f(t)f(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t+\tau)f(t)dt \]

对自相关函数，有：

\[R(\tau)=R(-\tau) \]

实函数的自相关函数是时移\(\tau\)的偶函数

CUC-MenG

[信号与系统个人笔记]第二章 连续时间信号与系统的时域分析