[信号与系统个人笔记]第一章 信号与系统的基本概念

Update

• 2025.8.20
  • 1.1信号的描述与分类
  • 1.2基本信号与其时域特性 part1
• 2025.8.21
  • 1.2基本信号与其时域特性 part2
• 2025.8.22
  • 1.3 信号的基本运算
  • 1.4 系统的描述与分类
• 2025.8.23
  • 1.5 线性时不变系统的性质

1.1 信号的描述与分类

信号的描述

信号可以用函数解析式描述 ，也可以用波形图描述

\[S_{AM}(t)=[A_{0}+m(t)]\cos \omega_{c}t \]

信号的分类

确定信号和随机信号

• 确定信号可以用确定的函数 或者波形表示
• 随机信号要用概率密度、相关函数、谱密度等数学 模型进行分析（随机过程）

连续时间信号和离散时间信号

名称	时间取值	幅度取值
连续时间信号	连续（定义域）	可以连续、可以不连续
离散时间信号	离散（定义域）	可以连续、可以不连续
模拟信号	连续	连续
数字信号	离散	离散

• 时间连续或离散的含义是定义域的连续或离散，因此需要和数学中的概念作区分
  

周期信号和非周期信号

周期信号指的是每隔一定时间\(T\)（或者整数\(N\)）按相同规律重复变化的信号

• 连续周期信号：\(f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots\)
• 离散周期信号：\(f(t)=f(t+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots\)

非周期信号不具备周期性，令周期信号的周期趋于无穷大\(T\to \infty\)，则周期信号变为非周期信号

两个连续周期信号之和的周期性判定

• 若两个连续信号的周期之比为有理数，设\(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{P}{Q}\)，其中\(P,Q\)为互质的整数，则和信号为周期信号，周期为\(T_{1},T_{2}\)的最小公倍数\(lcm(T_{1},T_{2})\)

\[T=QT_{1}=PT_{2} \]

例1

判断下列信号是否是周期信号，如果是则求其周期：
\(1)f(t)=\sin \pi t+2\cos{2}t\quad 2)f(t)=\sin{2}t+\cos 3t\)

解：
对于1），由于第一项的周期不含\(\pi\)，而第二项含有\(\pi\)，其周期之比为无理数，故不是周期信号；
对于2），\(T_{1}=\pi,T_{2}=\frac{2\pi}{3}, \frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{3}{2},T=2T_{1}=2\pi\)

能量信号与功率信号

信号的能量与功率

设信号的能量为\(E\)，功率为\(P\)：
对于连续信号而言：

\[\begin{align} &E=\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt=\lim_{ T \to \infty }\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt \\ \\ &P=\lim_{ T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t)|^2 dt\end{align} \]

• 能量即对信号的模的平方积分，考虑到存在复数信号，所以不写成\(f^2(t)\)
• 功率即能量除以时间，取一段时间\(T\)，计算在这段时间内的能量积分\(E_{T}\)，平均功率即\(\frac{E_{T}}{T}\)，令\(T\to \infty\)即可得到平均功率

对于离散信号而言：

\[\begin{align} &E=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|f(k)|^2=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=-N}^{N}|f(k)|^2 \\ \\ &P=\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{2N+1}\sum_{k=-N}^{N}|f(k)|^2 \end{align} \]

• 这与连续信号的两个表达式非常相似，积分换为求和即可
• 注意功率的分母为\(2N+1\)，这是因为\(\sum_{k=-N}^{N}\)中求和了\(2N+1\)个点，1来自于\(k=0\)一点

能量信号与功率信号

• 能量信号：能量为有界值，即\(0<E<+\infty\)，由功率的定义极限可知，分子有界分母无穷，此时功率为\(P=0\)
• 功率信号：功率为有界值，即\(0<P<+\infty\)，由功率的定义极限可知，分母为无穷且极限存在，则分子必为无穷，即\(E=\infty\)

结论：周期信号都是功率信号，时域有限信号都是能量信号！

特别地，有些信号既不是能量信号，也不是功率信号，如\(f(t)=e^{-t}\)

例2

判断下列信号是能量信号还是功率信号，并求能量或功率

• \(f(t)=10\cos(3t-\theta)\)

  • 余弦函数为周期函数，必然是功率信号
  • 由高中知识我们知道，交流电\(I=A\sin(\omega t+k)\)的有效值为\(\hat{I}=\frac{A}{\sqrt{ 2 }}\)，则功率可以使用有效值计算：\(P=\hat{I}^2R=\hat{I}^2·1\Omega=\frac{A^2}{2}\)
  • 因此\(P=\frac{A^2}{2}=50W\)
  • 该结论适用于所有正余弦信号！
  • 当然本题也可以直接套定义进行积分，化二倍角即可

• \(f(t)=10e^{-5t},t\geq 0\)

  • \[E=\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt=\int_{0}^{+\infty}100e^{ -10t }dt=100\left[ -\frac{1}{10}e^{ -10t } \right]_{0}^{+\infty}=10J \]

  • 因此为能量信号
  • 注意定义式中的\(\int_{-\infty}^{+\infty}\)，与概率论中的积分类似，需要看实际的\(f(t)\)的定义域来变换积分上下限
  • 注意若此处没有\(t\geq0\)的限制，则既不是能量信号又不是功率信号
  • 结论：单边衰减信号为能量信号

• \(f(k)=2,k\geq 0\)

  • \[E=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=-N}^N|f(k)|^2=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=0}^N 4=4\lim_{ N \to \infty }(N+1)=\infty \]

  • \[P=\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N+1}·4(N+1)=4W \]

  • 因此为功率信号
  • 注意变量为\(k\)的时候，代表离散时间信号
  • 注意功率除的时间是灵活变化的，具体要看\(\sum\)中求和了多少个点

1.2 基本信号及其时域特性

常见连续信号

指数信号

\[f(t)=Ke^{\alpha t} \]

指数信号对时间求导、积分仍然是指数信号

正弦信号

\[f(t)=A\cos(\omega t-\theta) \]

周期\(T\)，角频率\(\omega\)，频率\(f\)，则有：

\[\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f \]

正弦信号对时间求导、积分仍然是正弦信号

根据欧拉公式：

\[\begin{align} &e^{ j\omega t }=\cos \omega t+j\sin \omega t\\ \\ &e^{ -j\omega t }=\cos \omega t-j\sin \omega t \end{align} \]

其中\(j\)为虚数单位\(i\)
从而：

\[\begin{align} &\cos \omega t= \frac{e^{ j\omega t }+e^{ -j\omega t }}{2}\\ \\ &\sin \omega t= \frac{e^{ j\omega t }-e^{ -j\omega t }}{2j} \end{align} \]

复指数信号

\[\begin{align} f(t)&=Ke^{st}=Ke^{ (\sigma+j\omega)t }\\ \\ &=Ke^{ \sigma t }(\cos\omega t+j\sin \omega t) \end{align} \]

• 其中\(s=\sigma+jw\)，为一个复数
• \(\sigma\)决定增长或衰减
• \(\omega\)决定震荡的快慢

复指数信号的不同情形

• \(\sigma=0,\omega\neq 0\)：实部和虚部均为等幅振荡，\(f(t)=K(\cos \omega t+j\sin \omega t)\)
• \(\sigma\neq 0,\omega\neq 0\)：实部和虚部均为增长或衰减震荡，\(f(t)=Ke^{ \sigma t }(\cos\omega t+j\sin \omega t)\)
• \(\sigma\neq 0,\omega=0\)：实指数信号，\(f(t)=Ke^{ \sigma t }\)
• \(\sigma=0,\omega\neq 0\)：虚指数信号，\(f(t)=K(\cos \omega t+j\sin \omega t)=Ke^{ j\omega t }\)
• \(\sigma=\omega=0\)：直流信号，\(f(t)=K\)

抽样信号

\[f(t)=\frac{\sin t}{t}=Sa(t) \]

• \(Sample\to Sa\)，可以读作“萨”
• \(Sa(\omega_{0}t)=\frac{\sin \omega_{0}t}{\omega_{0}t}\)

抽样信号的性质

• \(Sa(t)\)为\(t\)的偶函数
• \(\lim_{ t \to 0 }Sa(t)=\lim_{ t \to \infty } \frac{\sin t}{t}=1,\lim_{ t \to \infty }Sa(t)=0\)
• 过零点：\(t=n\pi,n=\pm 1,\pm 2,\dots\)
• \(\int_{0}^{+\infty}Sa(t)dt=\int_{-\infty}^0Sa(t)dt=\frac{\pi}{2}\)
• \(\int_{-\infty}^{+\infty}Sa(t)=\pi\)

奇异信号

函数本身或其导数、积分有不连续点（即跳变点）的信号

单位斜变信号\(r(t)\)

\[r(t)=\begin{cases} 0\ ,t<0\\ \\ t\ ,t\geq 0 \end{cases} \]

• 小于0的部分全是0
• 大于0的部分是\(y=x\)

单位阶跃信号\(\varepsilon(t)\)

\[\begin{align} &\varepsilon(t)=\begin{cases} 0\ ,t<0\\ \\ 1\ ,t> 0 \end{cases}\\ \\ &\varepsilon(t-t_{0})=\begin{cases} 0\ ,t<t_{0}\\ \\ 1\ ,t>t_{0} \end{cases} \end{align} \]

• \(\varepsilon(t)\)在\(t=0\)处的函数值没有定义

\(r(t)\)与\(\varepsilon(t)\)的关系

• \(r(t)=t·\varepsilon(t)\)
• \(\varepsilon(t)=\frac{d\ r(t)}{dt}\)
• \(r(t)=\int_{-\infty}^t\varepsilon(x)dx\)

单位阶跃信号的物理意义

阶跃函数描述了信号的接入特性

• \(\varepsilon(t)\)表示信号\(f(t)=1\)在\(t=0\)的时刻接入系统
• \(f(t)\varepsilon(t)\)表示信号\(f(t)\)在\(t=0\)的时刻接入系统
• \(f(t)\varepsilon(t-t_{0})\)表示信号\(f(t)\)在\(t=t_{0}\)的时刻接入系统
  体现在波形上位跳变点或者波形的起始和终止

宽度为\(\tau\)的门函数

\[g_{\tau}(t)=\varepsilon\left( t+\frac{\tau}{2} \right)-\varepsilon\left( t-\frac{\tau}{2} \right) \]

• \(g\to gate\)
  与算法竞赛中的差分类似

符号函数\(sgn(t)\)

\[sgn(t)=\begin{cases} -1\quad t<0\\ \\ 1\quad t>0 \end{cases} \]

常用于构造幅度为双极性的信号

单位冲激信号\(\delta(t)\)

矩形脉冲可以视作作用效果（面积）一定，作用时间与作用力大小成反比的力
矩形脉冲持续时间减小，要维持力的效果不变，则需要增大脉冲的幅度

单位冲激信号可以视为作用效果不变，但是作用时间无限小，从而大小无限大的一个力，取脉冲持续时间趋于0，就可以得到单位冲激信号

物理定义：

记宽度为\(\tau\)，幅度为1的矩形脉冲门函数为\(g_{\tau}(t)\)，则冲激信号的定义为：

\[\delta(t)=\lim_{ \tau \to 0 } \frac{1}{\tau}g_{\tau}(t)=\lim_{ \tau \to 0 } \frac{1}{\tau} \left[ \varepsilon\left( t+ \frac{\tau}{2} \right)-\varepsilon\left( t- \frac{\tau}{2} \right) \right] \]

狄拉克定义：

\[\begin{align} &\delta(t):\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\\ \\ \delta(t)=0,t\neq0 \end{cases}\\ \\ &\delta(t-t_{0}):\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_{0})dt=1\\ \\ \delta(t-t_{0})=0,t\neq t_{0} \end{cases} \end{align} \]

在\(t_{0}\)之外的取值全部是0，但是在实数轴上积分为1

广义函数定义：

\[\begin{align} &\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\varphi(t)dt=\varphi(0)\\ \\ &\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})\varphi(t)dt=\varphi(t_{0}) \end{align} \]

对于检验函数\(\varphi(t)\)，乘以冲激信号后积分，可以将\(t_{0}\)处的\(\varphi\)值抽取出来，即取样

\(\delta(t)\)的性质

• 奇偶性：冲激信号为偶函数
• 与普通函数相乘：

  • \[\begin{cases}f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)\\ \\f(t)\delta(t-t_{0})=f(t_{0})\delta(t-t_{0})\end{cases} \]

• 取样性质：

  • \[\begin{align}&\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)f(t)dt=f(0)\\ \\&\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})f(t)dt=f(t_{0})\end{align} \]

  • 相当于将\(f(t)\)的值抽取出来
  • 由上一个性质积分而来

  • \[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\delta(t-t_{0})dt=\begin{cases}f(t_{0}),\quad t_{0}\in[t_{1},t_{2}]\\ \\0,\quad t_{0}\not\in[t_{1},t_{2}]\end{cases} \]

• 尺度变换性质：

  • \[\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\ (a\neq 0) \]

  • \[\delta(at-t_{0})=\frac{1}{|a|}\delta\left( t-\frac{t_{0}}{a} \right) \]

  • \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(at-t_{0})dt=\frac{1}{|a|}f\left( \frac{t_{0}}{a} \right) \]

• \(\delta(t)\)与\(\varepsilon(t)\)的关系：

  • \[\delta(t)=\frac{d}{dt}\varepsilon(t) \]

  • \[\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^t\delta(x)dx \]

  • 若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处的导数为冲激信号，其冲激强度为信号在跳变点处的跳跃值

冲激偶信号\(\delta'(t)\)

冲激偶信号为冲激信号对时间的导数，即$$\delta'(t)=\frac{d}{dt}\delta(t)$$
假如冲激信号由三角形的不断逼近来定义，那么其导数便是奇函数

\(\delta'(t)\)的性质

• 奇偶性：冲激偶信号为奇函数，\(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(t)dt=0\)
• 与普通函数相乘：

\[\begin{align} &f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)\\ \\ &f(t)\delta'(t-t_{0})=f(t_{0})\delta'(t-t_{0})-f'(t_{0})\delta(t-t_{0}) \end{align} \]

推导：

\[\begin{align} &已知:f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)\ ,\ f'(t)\delta(t)=f'(0)\delta(t)\\ \\ &[f(t)\delta(t)]'=f(t)\delta'(t)+f'(t)\delta(t)\ ,\ 则 f(t)\delta'(t)=[f(0)\delta(t)]'-f'(0)\delta(t)\\ \\ &则f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)\ 得证 \end{align} \]

记忆：\(\left( \frac{\delta(t)}{f(t)} \right)'\)的分子部分

• 取样性质：

  • \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t)dt=-f'(0) \]

  • \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t-t_{0})dt=-f'(t_{0}) \]

  • 这两个性质由上一条性质积分而来
  • 可以将函数的负导数抽取出来

• 尺度变换性质：

  • \[\delta'(at)=\frac{1}{a|a|}\delta'(t)=\frac{1}{sgn(a)·a^2}\delta'(t)\ (a\neq 0) \]

  • 需要特殊记忆分母的区别！

例4

\[\begin{align} &1)计算\int_{-2}^{2}\cos \frac{\pi t}{2}[\delta'(t-1)+\delta(t+5)]dt:\\ \\ 解:&由于t=-5不在积分区域中\\ \\ &原式=\int_{-2}^2\cos \frac{\pi t}{2}\delta'(t-1)dt=\frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi t}{2}\bigg|_{t=1}=\frac{\pi}{2} \end{align} \]

• 注意计算前看看\(t_{0}\)是否在积分区域中

\[\begin{align} &2)计算\int_{-\infty}^t(1-\tau)\delta'(2\tau)d\tau:\\ \\ 解:原式&=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^t(1-\tau)\delta'(\tau)d\tau\\ \\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{t}\delta'(\tau)+\delta(\tau)d\tau\\ \\ &=\frac{1}{4}\varepsilon(t)+\frac{1}{4}\delta(t) \end{align} \]

• 注意各个奇异信号之间的转换

基本离散序列

单位序列\(\delta(k)\)

\[\delta(k)=\begin{cases} 1\quad k=0\\ \\ 0\quad k\neq 0 \end{cases} \]

\[\delta(k-i)= \begin{cases} 1\quad k=i\\ \\ 0\quad k\neq i \end{cases} \]

取样性质：

\[f(k)\delta(k)=f(0)\delta(k)\quad f(k)\delta(k-i)=f(i)\delta(k-i) \]

辨析：

• \(\delta(k)\)在\(k=0\)的值为1
• \(\delta(t)\)在\(t=0\)的幅度无穷大
• 一个是离散序列，一个是奇异信号

单位阶跃序列\(\varepsilon(k)\)

\[\varepsilon(k)=\begin{cases} 1\quad k\geq 0\\ \\ 0\quad k< 0 \end{cases} \]

\[\varepsilon(k-i)=\begin{cases} 1\quad k\geq i\\ \\ 0\quad k<i \end{cases} \]

\(\varepsilon(k)\)与\(\delta(k)\)的关系：

\[\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\quad \varepsilon(k)=\sum_{n=0}^\infty \delta(k-n)=\sum_{i=-\infty}^k\delta(i) \]

类比前缀和与差分和的关系
辨析：

• \(\varepsilon(k)\)在\(k=0\)处有定义，值为1
• \(\varepsilon(t)\)在\(t=0\)处无定义或取\(\frac{1}{2}\)
• 一个是离散序列，一个是奇异信号

单边指数序列

\[f(k)=\alpha^{k}\varepsilon(k)\ ,\ k\in \mathbb{Z} \]

根据\(\alpha\)的正负、\(|\alpha|\)与1的大小关系，可以画出四个不同图像

复指数序列

\[f(k)=e^{a+j\omega_{0}k}=e^{ak}·e^{j\omega_{0}k}=\alpha^ke^{j\omega_{0}k}=\alpha^{k}[\cos \omega_{0}k+j\sin \omega_{0}k]\ (\alpha=e^{a}) \]

类比复指数信号的讨论，分实部虚部讨论即可得到不同的图像

正弦序列

\[f(k)=\cos \omega_{0}k \]

其中\(\omega_{0}\)称为数字角频率
区别于\(f(t)=\cos \omega t\)中的模拟角频率

正弦序列可以视为正弦信号的采样

设连续正弦信号为\(\cos \Omega_{0}t\)，令\(t=kT\)进行采样，则可以得到离散正弦序列\(\cos \Omega_{0}t\bigg|_{t=kt}=\cos \Omega_{0}Tk=\cos \omega_{0}k\)
则有：

\[模拟角频率\Omega_{0}\xrightarrow[采样周期T]{\omega_{0}=\Omega_{0}T}数字角频率\omega_{0} \]

\[\omega_{0}=\Omega_{0}T=2\pi \frac{T}{T_{0}}=2\pi \frac{f_{0}}{f_{s}} \]

数字角频率是一个相对量，单位为\(rad\)，可以根据模拟角频率和采样周期确定

正弦序列与虚指数序列的周期性

\[f(k+N)=\begin{cases} \cos \omega_{0}(k+N)=\cos(\omega_{0}k+\omega_{0}N)\\ \\ e^{j\omega_{0}(k+N)}=e^{j\omega_{0}k}·e^{j\omega_{0}N} \end{cases} \]

\[\begin{align} &若f(k)为周期序列,那么有f(k)=f(k+N)\\ \\ &解得\omega_{0}N=2m\pi,即\ N=m \frac{2\pi}{\omega_{0}}\ ,\ m\in Z,N\in Z \end{align} \]

• 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为整数时，取\(m=1\)，序列为周期序列，周期\(N=\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)
• 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为有理数时，设\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{P}{Q}\)，\(gcd(P,Q)=1\)，取\(m=Q\)，则序列为周期序列，周期\(N=P\)（等于分子）
• 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为无理数时，不存在整数\(N\)，序列不具备周期性

特别地，两个周期序列之和必定为周期序列，周期的计算方式与连续周期信号之和的周期一样

例5

判断序列是否为周期序列，如果是，求周期

• \(1)f(k)=5\cos4k\)
  • \(\omega=4, \frac{2\pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}\)为无理数，非周期序列
• \(2)f(k)=\cos \frac{3\pi}{4}k+\cos \frac{2\pi}{3}k\)
  • \(N_{1}=8,N_{2}=3,N=lcm(N_{1},N_{2})=24\)
• \(3)f(k)=\cos \frac{\pi}{3k}+e^{j \frac{2\pi}{5}k}\)
  • \(N_{1}=5,N_{2}=6,N=lcm(N_{1},N_{2})=30\)

1.3 信号的基本运算

信号的加乘运算

将同一时刻的值相加或相乘即可

信号的平移

左加右减即可

信号的尺度变换

• \(f(t)\to f(at)\)相当于将原信号压缩为\(\frac{1}{a}\)倍
• 尺度变换的时候需要特别处理对冲激信号的尺度变换：\(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\)

连续信号的微分与积分

• 连续信号的微分：
  • \(f'(t)=\frac{d}{dt}f(t)\)
  • 可以体现信号的变化
• 连续信号的积分：
  • \(f^{(-1)}(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx\)
  • 可以平滑信号的变化

例

\[\begin{align} f(t)&=(1-t)[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)]\\ \\ 则f'(t)&=-\varepsilon(t)+\varepsilon(t-1)+(1-t)[\delta(t)-\delta(t-1)]\\ \\ &=-\varepsilon(t)+\varepsilon(t-1)+\delta(t)\\ \\ \\ 则f^{(-1)}(t)&=\int_{-\infty}^{t}(1-x)[\varepsilon(x)-\varepsilon(x-1)]dx\\ \\ &=\int_{0}^{t}1-x\ dx-\int_{1}^{t}1-x \ dx\\ \\ &=\left[ x-\frac{1}{2}x^{2} \right]\bigg|_{0}^{t}\varepsilon(t)-\left[ x-\frac{1}{2}x^2 \right]\bigg|^{t}_{1}\varepsilon(t-1)\\ \\ &=\left( t-\frac{1}{2}t^{2} \right)\varepsilon(t)-\left( t-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2} \right)\varepsilon (t-1)\\ \\ &=\left( t-\frac{1}{2}t^2 \right)[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)]+\frac{1}{2}\varepsilon(t-1) \end{align} \]

• 在微分过程中，可以通过\(\delta(t)\)的取样性质进行化简
• 在积分过程中，需要使用\(\varepsilon(t)\)函数对积分上下界进行刻画！

连续信号的差分与求和

离散序列的差分

• 一阶前向差分：\(\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)\)
• 一阶后向差分：\(\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)\)
• 其中\(\Delta,\nabla\)为差分算子
• \(\nabla f(k)=\Delta f(k-1)\)

离散序列的求和

\[\begin{align} &\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)=\nabla \varepsilon(k)\\ \\ &\varepsilon(k)=\sum_{j=0}^{+\infty }\delta(k-j)=\sum_{i=-\infty}^{k}\delta(i) \end{align} \]

1.4 系统的描述与分类

系统的描述

系统的数学模型

• 输入-输出描述法：

  • 着眼于系统的输入与输出的关系，适用于单输入-单输出系统
  • 连续系统常用微分方程进行表征
  • 离散系统常用差分方程进行表征

• 状态变量描述法：

  • 既可描述输入输出的关系，又可以描述系统内部的状态，更适合调整系统内部参数，实现最优控制
  • 既可以用于单输入-单输出系统，又可以用于多输入-多输出系统
  • 用状态方程和输出方程进行表征

系统的框图描述

• 用框图表示输入输出的运算关系，每个框图反映一种数学运算功能，若干个框图可以组成一个完整的系统
  

• 注意积分器反向走就是求导

连续系统框图与微分方程

如何看图写出系统微分方程：

• 通过积分器的个数来判断阶数
• 设最后一个积分器得到的结果为\(x(t)\)，一路往回得到其导数
• 对左、右加法器列出方程
• 消去\(x(t)\)得到系统微分方程

图中的系统微分方程：

\[\begin{align} &左加法器方程:x''(t)+a_{1}x'(t)+a_{0}x(t)=e(t)\\ \\ &右加法器方程:y(t)=b_{2}x''(t)+b_{1}x'(t)+b_{0}x(t)\\ \\ &左加法器方程中的x换为y,右加法器方程中的x换为e:\\ \\ &y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=b_{2}e''(t)+b_{1}e'(t)+b_{0}e(t) \end{align} \]

离散系统框图与差分方程

如何看图写出系统差分方程：

• 通过单位延时器的个数判断系统阶数
• 在第一个单位延时器前面设中间变量\(x(k)\)
• 对左右加法器列方程
• 消去中间变量\(x(k)\)

图中的系统差分方程：

\[\begin{align} &左加法器方程:x(k)+a_{1}x(k-1)+a_{0}x(k-2)=e(k)\\ \\ &右加法器方程:y(k)=b_{2}x(k)+b_{1}x(k-1)+b_{0}x(k-2)\\ \\ &左加法器方程中的x换为y,右加法器方程中的x换为e:\\ \\ &y(k)+a_{1}y(k-1)+a_{0}y(k-2)=b_{2}e(k)+b_{1}e(k-1)+b_{0}e(k-2) \end{align} \]

系统的分类

连续（时间）系统与离散（时间）系统

• 连续系统：系统输入和输出均为连续时间信号，用微分方程表征
• 离散系统：系统输入和输出均为离散时间信号，用差分方程表征

即时（无记忆）系统与动态（记忆）系统

• 即时系统：系统输出取决于同一时刻的输入，而与历史状态无关，用代数方程表征，如电阻电路
• 动态系统：输出同时取决于同一时刻的输入与系统的历史状态，用微分/差分方程表征，如\(RLC\)动态电路

线性系统与非线性系统

• 线性系统：满足均匀性和叠加性
  • 均匀性：系统的激励信号增大\(K\)倍时，系统响应也增大\(K\)倍
  • 叠加性：几个激励信号同时作用于系统时，系统响应等于各个激励信号单独作用于系统的响应之和
  • \(f(K·x)=K·f(x)\ ,\ f(x+y)=f(x)+f(y)\)
• 非线性系统：与线性系统相对，不具备均匀性或叠加性

时变系统与时不变系统

• 时变系统：系统参数随着时间变化
• 时不变系统：系统参数不随时间变化

因果系统与非因果系统

• 因果系统：当且仅当输入激励时，系统才会出现响应，即响应不会先于激励
• 非因果系统：响应先于激励产生的系统

稳定系统与不稳定系统

• 稳定系统：输入有界，输出也有界的系统
• 不稳定系统：与稳定系统相对

在这门课程中主要学习线性时不变系统

1.5 线性时不变系统的性质

\(LTI-Linear\ Time\ Invariant\ 线性时不变系统\)
\(LSI-Linear\ Shift\ Invariant\ 线性移不变系统\)

线性性质与分解特性

\[y(\cdot)=T[\ e(\cdot)\ ] \]

• 其中\(T\)为映射
• 反映了输入-输出关系

线性性质

• 均匀性：系统的激励增大\(K\)倍时，响应也相应增加\(K\)倍

\[y(\cdot)=T[\ e(\cdot)\ ]\to T[Ke(\cdot)]=K\cdot T[e(\cdot)]=K\cdot y(\cdot) \]

• 叠加性：几个激励信号同时作用于系统时，系统响应等于各个激励信号单独作用于系统的响应之和

\[T[e_{1}(\cdot)+e_{2}(\cdot)]=T[e_{1}(\cdot)]+T[e_{2}(\cdot)]=y_{1}(\cdot)+y_{2}(\cdot) \]

如何判断系统的线性性

• 将\(y_{1},y_{2}\)分别用\(e_{1},e_{2}\)表示
• 对\(y(\cdot)=T[e(\cdot)]\)带入\(ae_{1}+be_{2}\)，对比结果是否等于\(ay_{1}+by_{2}\)

例

判断下列系统是否是线性系统：

\[\begin{align} &1)\ y(t)=4 \frac{d}{dt}e(t)\\ \\ &y_{1}(t)=4 \frac{d}{dt}e_{1}(t)\ ,\ y_{2}(t)=4 \frac{d}{dt}e_{2}(t)\\ \\ &4 \frac{d}{dt}[ae_{1}(t)+be_{2}(t)]=a\cdot 4 \frac{d}{dt}e_{1}(t)+b\cdot 4 \frac{d}{dt}e_{2}(t)=ay_{1}(t)+by_{2}(t)\\ \\ &\therefore 是线性系统 \end{align} \]

\[\begin{align} &2)\ y(k)=\mathrm{Im}[e(k)]\quad \mathrm{Im}[\cdot]表示取虚部\\ \\ &设e(k)=a(k)+j\cdot b(k)\quad y(k)=\mathrm{Im}[e(k)]=b(k)\\ \\ &令j\cdot e(k)=-b(k)+j\cdot a(k)\quad y_{1}(k)=\mathrm{Im}[j\cdot e(k)]=a(k)\neq j\cdot b(k)\\ \\ &\therefore 不是线性系统 \end{align} \]

• 注意处理复数的时候，虚数单位\(j\)也可以作为常数来相乘！

分解特性

\[y(\cdot)=T[\{ x(0) \},\{ e(\cdot) \}]=T[\{ x(0) \},\{ 0 \}]+T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]=y_{zi}+y_{zs} \]

• 动态系统的响应由激励和初始状态共同决定

• 初始状态集合：\(\{ x(0) \}\)

• 零输入响应：

  • \(y_{zi}(\cdot)=T[\{ x(0) \},\{ 0 \}]\)
  • \(zi-zero\ input\)
  • 激励为0，仅由初始状态引起的系统响应

• 零状态响应：

  • \(y_{zs}(\cdot)=T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]\)
  • \(zs-zero\ state\)
  • 初始状态为0，仅由激励引起的系统响应

• 零输入线性

  • 零输入响应对系统的初始状态有线性关系：
    

\[T[ax_{1}(0)+bx_{2}(0)]=aT[x_{1}(0)]+bT[x_{2}(0)]=ay_{zi_{1}}(\cdot)+by_{zi_{2}}(\cdot) \]

• 零状态线性
  • 零状态响应对系统的激励有线性关系：
    

\[T[ae_{1}(\cdot)+be_{2}(\cdot)]=aT[e_{1}(\cdot)]+bT[e_{2}(\cdot)]=ay_{zs_{1}}(\cdot)+by_{zs_{2}}(\cdot) \]

如何判断系统是否是线性系统

• 判断是否可以分解为\(y_{zi}(\cdot)+y_{zs}(\cdot)\)
• 若可分解，判断是否满足零输入线性和零状态线性

例

\[\begin{align} &1)\ y(t)=e(t)x(0)+\int_{0}^{t}\sin x e(x)dx\\ \\ &由于e(t)x(0)为乘积关系,不可分解为y_{zi}+y_{zs}\\ \\ &\therefore 不是线性系统 \end{align} \]

\[\begin{align} &2)\ y(t)=x(0)e^{-t}+\int_{0}^{t}e(x)\cos xdx\\ \\ &y_{zi}=x(0)e^{-t},y_{zs}=\int_{0}^{t}e(x)\cos xdx\\ \\ &[ax_{1}(0)+bx_{2}(0)]e^{-t}=ax_{1}(0)e^{-t}+bx_{2}(0)e^{-t}\\ \\ &\therefore y_{zi}为线性\\ \\ & \int_{0}^{t}[ae_{1}(x)+be_{2}(x)]\cos xdx=a\int_{0}^{-t}e_{1}(x)\cos xdx+b\int_{0}^{t}e_{2}(x)\cos xdx\\ \\ &\therefore y_{zs}为线性\\ \\ &\therefore 系统为线性系统 \end{align} \]

时不变性质

\[y_{zs}(\cdot)=T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]\to y_{zs}(t-t_{d})=T[\{ 0 \},\{ e(t-t_{d}) \}] \]

• 时不变系统的响应形式与激励接入系统的时间无关，激励延时，输出也产生相应延时而波形不变

如何判断时不变

• 原理法：

  • \(y_{1}(t)=T[e(t-t_{d})]\)
  • 比较\(y(t-t_{d})\)与\(y_{1}(t)\)即可

• 直观法：

  • 若信号之前出现变系数\(f(t)\cdot e(t)\)，或者信号有反转或尺度变换\(e(at+b)\)，则系统为时变系统

• 需要特别注意的是：

  • 如\(y(t)=e(2t)\)，\(y_{1}(t)=T[e(t-t_{d})]=e(2t-t_{d})\)
  • 对\(e(t-t_{d})\)时域压缩后为\(e(2t-t_{d})\)
  • \(y(t-t_{d})=e(2t-2t_{d})\neq y_{1}(t)\)，所以是时变系统

例

1）：
某\(LTI\)连续系统，输入为\(e_{1}(t)\)时，零状态响应为\(y_{sz_{1}}(t)\)，当输入为\(e_{2}(t)\)时，求该系统的零状态响应\(y_{zs_{2}}(t)\)

• 观察可知\(e_{2}(t)=e_{1}(t)-e_{1}(t-1)\)
• 由零状态线性可知：\(y_{zs_{2}}(t)=y_{zs_{1}}(t)-y_{zs_{1}}(t-1)\)
• 画图即可

2）：
已知\(LTI\)系统：

\[\begin{align} &y_{1}(t)=T[\{ x(0) \},\{ e(t) \}]=[2e^{-t}+\cos \pi t]\varepsilon(t)\\ \\ &y_{2}(t)=T[\{ x(0) \},\{ 2e(t) \}]=[3e^{-t}+2\cos \pi t]\varepsilon(t) \end{align} \]

求\(y_{3}(t)=T[\{ 2x(0) \},\{ 5e(t) \}]\)和\(y_{4}(t)=T[\{ 2x(0) \},\{ 5e(t-2) \}]\)：

\[\begin{align}解:&\\ \\ &设y_{zi}=x(0),y_{zs}=e(t)\\ \\ &\begin{cases} y_{1}(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=[2e^{-t}+\cos \pi t]\varepsilon(t)\\ \\ y_{2}(t)=y_{zi}(t)+2y_{zs}(t)=[3e^{-t}+2\cos \pi t]\varepsilon(t) \end{cases}\\ \\ &解得:\begin{cases} y_{zi}(t)=e^{-t}\varepsilon(t)\\ \\ y_{zs}(t)=(e^{-t}+\cos \pi t)\varepsilon(t) \end{cases}\\ \\ &则y_{3}(t)=2y_{zi}(t)+5y_{zs}(t)=(7e^{-t}+5\cos \pi t)\varepsilon(t)\\ \\ &y_{4}(t)=2y_{zi}(t)+5y_{zs}(t-2)=2e^{-t}\varepsilon(t)+5[e^{-(t-2)}+\cos \pi t]\varepsilon(t-2) \end{align} \]

微分与积分性质（零状态）

\[\begin{align} &对于y_{zs}(t)=T[\{ 0 \},\{ e(t) \}]:\\ \\ &T\left[ \{ 0 \}, \frac{de(t)}{dt} \right]= \frac{dy_{zs}(t)}{dt}\\ \\ &T\left[ \{ 0 \},\int_{-\infty}^{t}e(x)dx \right]=\int_{-\infty}^{t}y_{zs}(x)dx \end{align} \]

• 激励求导或积分，响应为原响应求导或积分
• 该性质对于高阶导数或重积分同样适用

因果性与稳定性

因果性

• 若系统为因果系统，则零状态响应只能在激励产生的瞬间或者之后再出现
• \(t=t_{0}\ (k=k_{0})\)时系统响应 只与\(t\leq t_{0}\ (k\leq k_{0})\)时的激励有关
• 因果信号：\(e(\cdot)=0,t<0或k<0\)
• 因果系统中，激励为因果信号，响应也一定是因果信号
• \(y(t)=e(2t)\)为非因果系统
• \(y(t)=e(t)\sin(t+1)\)是因果系统（只与激励有关）

稳定性

稳定系统满足：

\[当|e(\cdot)|<\infty时,存在|y_{zs}(\cdot)|<\infty \]

• 若系统对有界输入的零状态响应也有界，则系统为稳定系统
• 注意是\(|e(x)|<\infty\)，而\(t\to \infty,k\to \infty\)是可以的
• \(y_{zs}(k)=(k-2)e(k)\)，若\(\lim_{ k \to \infty }e(k)=A\)，则\(\lim_{ k \to \infty }(k-2)e(k)=\infty\)，不是稳定系统