线段树详解
综述
线段树是一颗二叉搜索树，树的每一个节点均维护着区间信息，线段树根节点的区间信息可通过左子树和右子树的信息计算出（也就是我们说的满足区间加法）。
常见的几种区间加法：
总的数字之和=左区间的数字和+右区间的数字和
总的gcd=gcd（左，右）
总的数字乘积=左区间乘积*右区间乘积
总的最大值=max(左区间最大值，右区间最大值）//最小值同理
它有什么用呢？它可以解决区间问题，可以在log(n)的时间进行单点查询，区间查询，单点修改，区间修改等操作，例如题目给你一个长度为n的序列，要求进行k次操作，每次操作可能改动一个点的值，也可以查询区间L到R的和，如果单有查询那么可以用前缀和，加上修改前缀和就不行了，如果暴力做那么复杂度在查询就是O(nk)了，但如果用线段树可以优化到O(klogn)。
它长什么样？怎么存？
对于一颗维护长度为8的线段树，它的理念形态是长这样的：
总区间自然是1到8，那么左区间为什么是1到4右区间是5到8呢，因为线段树的核心是二分性质，区间【L，R】的左区间为【L，m】右区间为【m+1，R】，m为(L+R)/2。需注意端点m是属于左区间的。
那么如果赋予它实际的值，告诉你8个数字分别为1 2 3 4 5 6 7 8，那么它的实际情况是长这样的：
如果给它标号，每一层从上到下，从左到右由小到大进行标号，可以看得出来，根节点为n号时，左子树为2*n号，右子树为2*n+1号：
那怎么存呢？用数组来存，a[i]代表标号为i的节点信息，那么数组开多大呢？，数组的空间应该为节点的个数+1，那对于长度为n的线段树，节点有多少个呢？
当n是2的幂时，那么线段树就是满二叉树，它的层数是log2(n)+1，那么节点数就是2层数-1也就是2n-1，当n不是2的幂的时候，线段树就会不那么好看，叶子节点的数组空间就不一定是连续的：
例如这个n=10的线段树：
可以看到它不是满二叉数，满二叉树的n要达到16，若按照上面的计算公式开2n-1的空间数也就是19而已，而实际最大下标去到了25，不能满足，所以我们得开大一点，对于一个不是2的幂的n来说，我们令开多一层空间，就是是说n=10我们就开n=16的空间 ， n=17我们就开n=32的空间，log2(n)+1是对于是2的幂的n的层数，为了方便无论n是不是2的幂，我们都开多一层空间给它 ， 所以层数=log2(n)+1+1 ， 总节点数开到2log2(n)+1+1-1，也就是4n-1，所以开4倍就行，证毕！
普通线段树代码详解
要开的变量：maxn是n的最大范围，A[maxn]存题目的n个值的信息，对应线段树的叶子节点 a[4*maxn]是线段树的空间，节点的标号为i。
对于节点信息的维护
注意节点存的是什么信息，此代码存的是区间和：
void pushup(int rt){ a[rt]=a[rt<<1]+a[rt<<1|1]; }
建树O(n)
建树的过程就是一直递归到叶子节点，然后把当前编号的空间赋值为对应题目的信息，在递归结束的时候要维护区间信息
void build(int l,int r,int rt){//对于 l 到 r 的一颗线段树建树 if(l==r){//代表已经递归到叶子节点 a[rt]=A[l]; return ; } int m=l+r>>1; build(l,m,rt<<1);//建左子树 build(m+1,r,rt<<1|1);//建右子树 pushup(rt);//左右子树建好之后维护当前区间的信息 }
单点更新O(logn)
单点更新其实就是一个找叶子节点编号的二分过程，当你找到对应叶子节点的位置，你想干嘛干嘛，这里是对应位置加上val值：
void update(int pos,int val,int l,int r,int rt){//在pos位置加上val if(l==r){//代表已经递归到叶子节点 a[rt]+=val; return; } int m=l+r>>1; if(pos<=m)//目标位置在左边 update(pos,val,l,m,rt<<1); else//在右边 update(pos,val,m+1,r,rt<<1|1); pushup(rt);//更新完维护信息 }
单点查询O(logn)
单点查询其实和单点更新本质上相同，就是找到叶子节点，然后想干嘛干嘛
int search(int pos,int l,int r,int rt){ if(l==r){ return a[rt]; } int m=l+r>>1; if(pos<=m) return search(pos,l,m,rt<<1); else return search(pos,m+1,r,rt<<1|1); }
区间查询O(logn)
在区间查询中，有两个区间，一个是查询区间我们设为【L，R】，一个是递归区间设为【l，r】。假如我们要查询区间和，设为ans。
int query(int L,int R,int l,int r,int rt){ if(L<=l&&r<=R){ return a[rt];//第一种情况，直接贡献 } int m=l+r>>1; int ans=0; if(L<=m)//递归区间的左边含有查询 ans+=query(L,R,l,m,rt<<1); if(R>m) ans+=query(L,R,m+1,r,rt<<1|1); return ans;//统计二三情况的贡献，返回最终值 }
分三种情况:
一是递归区间属于查询区间，L<=l&&r<=R，就是说本节点所表示的信息你全部都要，那就贡献到ans里。
二是递归区间的左边有查询区间，L<=m,但本节点信息你不是全部要，得递归深一点，直到满足情况一才贡献ans，遂令下一个递归区间为【l,m】。
三是递归区间的右边有查询区间，R>m,但本节点信息你不是全部要，得递归深一点，直到满足情况一才贡献ans，遂令下一个递归区间为【R,m+1】。
区间更新O(logn)
假如我们要将区间【L，R】中的每一个端点加上一个值val，如果区间更新用R-L+1个单点更新来做，那么复杂度要去到O(长度*logn)，那么最坏长度为整个序列那么长，就是nlogn了。为了降低时间复杂度，我们引入懒标记这一概念。
每一个节点都有一个懒标记值，懒标记——表示本节点的左右子树有区间更新需求但尚未更新。懒标记顾名思义就是太懒了，懒得递归下去，打个标记，之后如果要用到就顺便更新了。
举个例子，对于n=10，各个端点值为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，如果你要更新[1，5]中的每一个元素+1。那么要更新的节点为蓝色标记：
如果用单点更新来做的话，复杂度就去到nlogn，贼鸡儿大。但用懒标记的优化可以优化到logn。
具体要怎么操作呢？当我们的递归区间被包含于操作区间的时候，即现在的递归区间全都要进行区间更新，我们就只更新现在的节点，代表现在的区间已经更新，并在本节点打上懒惰标记，代表左子树和右子树有更新需求，但不往下递归了。当我们的一些其他操作想知道子树的信息的时候，递归到刚刚那层就会更新子树刚刚的区间更新，这样子树的信息也是正确的。
回到我们刚刚的例子，如果我们想更新[1，5]，那么我们只需要更新[1，5]的那个节点并打上懒标，如果之后的操作想知道[4，5]等子树信息，其过程一定会递归到[1，5]，然后就可以根据懒标更新子树信息。注意我们说的子树是该节点的下一层，多一层就行，一直往下递归就不是懒标的思想了。
那么怎么打代码呢，我们先想遇到懒标该怎么更新，懒标add[i]代表i节点的懒标，数值上等于该区间的更新操作，例如刚刚的例子add[2]=5代表[1，5]更新为5，已经更新，子树有需求。当我们后面的操作递归到节点2的时候我们会执行pushdown函数更新子树。刚刚的单点查询，区间查询，单点更新什么的都要加上pushdown。
void pushdown(int rt,int ln,int rn){ //更新rt节点的下一层，ln为左儿子区间长度，rn为右儿子区间长度 if(add[rt]){ add[rt<<1]+=add[rt]; add[rt<<1|1]+=add[rt]; add[rt<<1]+=ln*add[rt]; a[rt<<1|1]+=rn*add[rt]; add[rt]=0; } }
那对于单次的区间更新，我们就要更新第一次能更新的那层，并打上懒标记。
void updata(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){ //[L,R]区间加上val if(L<=l&&r<=R){ add[rt]+=val; a[rt]+=val*(r-l+1); return; } int m=l+r>>1; pushdown(rt,m-l+1,r-m); if(L<=m) updata(L,R,val,l,m,rt<<1); if(R>m) updata(L,R,val,m+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); }
对于之前的操作我们在int m=l+r>>1;后面加上pushdown(rt,m-l+1,r-m);即可。
模板
#include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; const int maxn= ; typedef long long ll; int A[maxn]; ll a[maxn*4],add[maxn*4]; void pushup(int rt){ a[rt]=a[rt<<1]+a[rt<<1|1]; } void pushdown(int rt,int ln,int rn){ if(add[rt]){ add[rt<<1]+=add[rt]; add[rt<<1|1]+=add[rt]; a[rt<<1]+=ln*add[rt]; a[rt<<1|1]+=rn*add[rt]; add[rt]=0; } } void build(int l,int r,int rt){ if(l==r){ a[rt]=A[l]; return ; } int m=l+r>>1; build(l,m,rt<<1); build(m+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } void update(int pos,int val,int l,int r,int rt){ if(l==r){ a[rt]=val; return; } int m=l+r>>1; pushdown(rt,m-l+1,r-m); if(pos<=m) update(pos,val,l,m,rt<<1); else update(pos,val,m+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } void updata(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){ if(L<=l&&r<=R){ add[rt]+=val; a[rt]+=val*(r-l+1); return; } int m=l+r>>1; pushdown(rt,m-l+1,r-m); if(L<=m) updata(L,R,val,l,m,rt<<1); if(R>m) updata(L,R,val,m+1,r,rt<<1|1); pushup(rt); } ll search(int L,int l,int r,int rt){ if(l==r){ return a[rt]; } int m=l+r>>1; pushdown(rt,m-l+1,r-m); if(L<=m) search(L,l,m,rt<<1); else search(L,m+1,r,rt<<1|1); } ll query(int L,int R,int l,int r,int rt){ if(L<=l&&r<=R){ return a[rt]; } int m=l+r>>1; pushdown(rt,m-l+1,r-m); ll ans=0; if(L<=m) ans+=query(L,R,l,m,rt<<1); if(R>m) ans+=query(L,R,m+1,r,rt<<1|1); return ans; } int main(){ return 0; }
