中位数最小化绝对差之和，平均数最小化差的平方之和

总结

度量标准	最优解	数学工具	直观意义
绝对差之和	中位数	分段函数分析	平衡左右两侧的数据点数量
差的平方之和	平均数	导数与二次函数极值分析	最小化整体偏差的“能量”

解释

• 中位数 vs 绝对差：
  • 绝对差对离群值不敏感。中位数平衡了左右两侧的数据点数量，确保向左或向右移动时，增减的绝对差数量相等。
• 平均数 vs 差的平方：
  • 差的平方对大偏差惩罚更重。平均数通过最小化平方和，使得整体偏差的“能量”最小。

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数学证明

1. 中位数最小化绝对差之和：
   • 通过分段函数分析，中位数是使总绝对差最小的点。
2. 平均数最小化差的平方之和：
   • 通过求导和二阶导数验证，平均数是使差的平方之和最小的点。

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例子

• 中位数：
  • 数据：[1, 3, 5]，中位数是 3，总绝对差为 2 + 0 + 2 = 4。
  • 若选择 x=2，总绝对差为 1 + 1 + 3 = 5，明显更大。
• 平均数：
  • 数据：[1, 3, 5]，平均数是 3，差的平方之和为 4 + 0 + 4 = 8。
  • 若选择 x=2，差的平方之和为 1 + 1 + 9 = 11，明显更大。

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