后缀数组及其应用LCP（the Longest Common Prefix，最长公共前缀）

一、前言

后缀数组，\(suffix\) \(array\)，缩写\(sa\)，在处理字符串问题中用处很多

二、定义

对于一个字符串S，从其第i位字符开始至最后一位所构成的子串，记作后缀\(suffix(i)\)，如对于字符串"\(aabaaaab\)"，：

有

suffix(1)="aabaaaab"
suffix(2)="abaaaab"
suffix(3)="baaaab"
suffix(4)="aaaab"
suffix(5)="aaab"
suffix(6)="aab"
suffix(7)="ab"
suffix(8)="b"

显然，对于上述的子串，其处于无序态，我们不妨将其进行排序，将“排序后的第i个后缀的子串在母串中的起始位置”记录下来，保存在后缀数组sa中，

有

sa[1]=4
sa[2]=5
sa[3]=6
sa[4]=1
sa[5]=7
sa[6]=2
sa[7]=8
sa[8]=3

为了方便编写后续的代码，我们还需要定义排名数组rnk[i]，表示排名为i的子串的首位在母串中的起始位置，显然rnk与sa是互逆的，则有\(rnk[sa[i]]=i，sa[rnk[i]]=i\)

三、算法

显然，如果要求一个字符串的所有后缀数组，朴素算法的复杂度对于OI来说不可接受（将盛有全部后缀字符串的数组进行 sort 排序，由于排序进行 \(O(nlogn)\) 次字符串比较，每次字符串比较要O(n) 次字符比较，所以这个排序是\(O(n^2log n)\)的时间复杂度，其中，n为母串的长度，下同），因此我们需要高效的求出一个字符串的后缀数组，就可以使用以下算法：

DC3（[2009] 后缀数组——处理字符串的有力工具 by. 罗穗骞，复杂度\(O(n)\)但是常数大，要在1e6级别的数据中才相对倍增算法有优势）

SA-IS（效率最高，但是代码最长）

以及我们接下来学习的代码最简单的算法（但是思路挺复杂的）：倍增算法

四、思路及部分代码

总体思路

对字符串每个下标开始的长度为\(2^k\)的子串进行排序，以得到排名。k从\(0\)开始，每次增加1，即长度增加一倍，当\(2^k \geq n\)时，从每个下标开始的\(2^k\)的子串都相当于得到了所有后缀。而为了提高时间效率，我们可以由上次子串的排名得到当前子串的排名。

部分代码实现

首先，为了高效排序，在值域和排序对象数量都确定时，我们使用基数排序（的思想），将字符转化为数字存入\(s[]\)，并将\(s[]\)赋值给\(x[]\)（相当于\(rnk[]\)，之后会作为第一关键字，第二关键字为\(y[]\)）