Trick 记录

25.9.13

单调上升转为单调不降：\(b_i=a_i-i\) 的单调不降序列即为 \(a_i\) 的单调上升序列。

25.9.15

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}d(i)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor}\)

直径上的点到其他点的最远距离满足：从两端的值（记为 \(k\)）到中间的 \(\lceil \dfrac{k}{2} \rceil\)。且 \(\lceil \dfrac{k}{2} \rceil\) 一定是整棵树上所有点到距离该点最远点的距离最小值。

25.9.17

值得再度强调的是，组合数学中一个组合数不会处理的时候，可以看看能不能用杨辉三角的递推式进行递推。

对于一个二维 dp 状态 \(f_{i,j}\)，若 \(j\) 非常之大，但是 \(f_{i,j}\) 是一个关于 \(i\) 的 \(k\) 次多项式，且 \(k^2\) 可以接受，此时就可以进行 \(O(k^2)\) 的拉格朗日插值优化 dp。对于三维的情况，可以沿着某一维求出前缀和进行拉格朗日插值。

25.9.22

树上问题如果有关键边，可以考虑断关键边，拆分成两棵树，从关键边连接的两个点出发做。

25.9.23

\(d(nm)=\displaystyle{\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid m}[x \perp y]}\)

26.2.25

可以把涉及两个序列的 dp 变成一个序列染色进行匹配。

26.7.?

一个序列找 \(\sqrt{n}\) 个关键点，以这些关键点为左右端点，向左向右扫记录答案，可以处理一些问题。

26.7.23

对于只要求存在性的三维偏序，可以转化为二维偏序。