2026.10.25 闲话

世界沉睡童话……

介绍：Calkin–Wilf 树

目录

• 介绍：Calkin–Wilf 树
  • Stern–Brocot 树和 Calkin–Wilf 树
  • 矩阵形式和两种树之间的关系
  • Calkin–Wilf 树
  • 特别鸣谢

最近由于某些原因才知道还有 Calkin–Wilf 树这种东西，虽然 oi-wiki 也解释了，但是似乎不太本质，所以我也解释一下。Calkin–Wilf 树虽然不是特别深刻，但是对于理解 Stern–Brocot 树应当是有帮助的。

期望已经知道 Stern–Brocot 树是什么，不过不知道也没有关系。

Stern–Brocot 树和 Calkin–Wilf 树

简略解释一下什么是 Stern–Brocot 树：首先左右是 \(\frac 01\) 和 \(\frac10\)，每次在相邻的 \(\frac ab\) 和 \(\frac cd\) 之间插入 \(\frac{a+c}{b+d}\)：

Calkin–Wilf 树以 \(\frac11\) 为根，\(\frac pq\) 的左儿子是 \(\frac{p}{p+q}\)、右儿子是 \(\frac{p+q}{q}\)：

矩阵形式和两种树之间的关系

对于 Stern–Brocot 树来说，对于每个点 \(\dfrac pq\) 记一个矩阵 \(\begin{bmatrix}b&d\\a&c\end{bmatrix}\) 表示他左边的点是 \(\dfrac ab\)、右边的点是 \(\dfrac cd\)，这样就表示 \(\dfrac pq=\dfrac{b+d}{a+c}\)。

那么向左相当于乘 \(L=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)、向右相当于乘 \(R=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\)：

对于 Calkin–Wilf 树，如果仍然使用上面的树的可以发现每个点 \(\begin{bmatrix}b&d\\a&c\end{bmatrix}\) 其实表示的数是 \(\dfrac{a+c}{b+d}\)。

很难不发现两种矩阵 -> 分数转换方式之间差一个矩阵转置，而且 \(L,R\) 也是互为转置的，所以对于 L/R 的表示序列也就差一个转置，由于把转置分配到乘法里面需要翻转顺序，所以立得两种树之间的重要关系：

对于每一层来说，两种树对应的一排分数互为下标的位逆序关系（或者说蝴蝶变换）。

这个性质直接展示了两种树之间的关系，这可以让我们方便的在两种树之间进行切换。由于 Calkin–Wilf 树在构造上是非常简单的，而 Stern–Brocot 树是 BST，所以可能在处理某些问题上可以更方便。

Calkin–Wilf 树

介于 Calkin–Wilf 树的构造其实有很明显的连分数结构，所以很容易解释 Stern–Brocot 树和连分数间的关系。

下面讨论 Calkin–Wilf 树的一个挺好玩儿的性质：

按 BFS 序，分数 \(u\) 后面的那个分数就是 \(\dfrac1{2\lfloor u\rfloor-u+1}\)。

太神奇了，竟然能直接推下一个（

其实道理是比较显然的，就是直接模拟，设 \(u=\dfrac pq\)，通过向上跳 \(\left\lfloor\dfrac pq\right\rfloor+2\) 步可以直接走到它和它后面那个数的 LCA，过程我也懒得写了，反正简单。

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另外，Stern's diatomic sequence：

\[\begin{aligned}\operatorname{fusc}(2n)&=\operatorname{fusc}(n)\\\operatorname{fusc}(2n+1)&=\operatorname{fusc}(n)+\operatorname{fusc}(n+1)\end{aligned} \]

其中 \(\operatorname{fusc}(0)=0,\,\operatorname{fusc}(1)=1\)。

Calkin–Wilf 树按 BFS 序排列的分数就是相邻的 fusc 之比，这个显然，就不解释了。

哎感觉退役太久都不会写博客了，排版直接排成生物书黑体字、、

特别鸣谢

感谢 joke3579, abnormal123 et al. 和我的私人交流（