2026.8.28 闲话

还能歌的出来吗
upd. 歌：36岁小学生初投稿原创摇滚暂别作 - 阿良良木健 feat. 洛天依 .

图

推荐阅读：多项式复合方程与远处求值

最后其实可能还是发出来比较好、、

后文 \(\mathsf M(n)\) 均为度数为 \(n\) 的多项式乘法的时间复杂度。

Bostan–Mori 算法

如果想求有理分式的远端系数 \([x^n]\dfrac{F(x)}{G(x)}\)，Bostan–Mori 算法是很常用的：

\[[x^n]\dfrac{F(x)}{G(x)}=[x^n]\dfrac{F(x)G(-x)}{G(x)G(-x)} \]

这里由于 \(G(x)G(-x)\) 只有偶次项所以可以通过分离分子奇偶次项递归进入 \(n/2\) 规模的问题。

如果想进入到 \(n/k\) 规模的问题该怎么办呢？大概可以拟称 \(k\)-radix Bostan–Mori 算法：

\[[x^n]\dfrac{F(x)}{G(x)}=[x^n]\dfrac{F(x)\prod_{i=1}^{k-1}G(\omega_k^ix)}{\prod_{i=1}^kG(\omega_k^ix)} \]

其中 \(\omega_k\) 是 \(k\) 次单位根，后面的过程类似普通 Bostan–Mori 算法。

关于连乘怎么算

对于常数项为 1 的多项式 \(F(x)\) 想算 \(\prod_{i=0}^{k-1}F(\omega_k^ix)\)。令 \(G(x)=\ln F(x)\)，

\[\begin{aligned}\prod_{i=0}^{k-1}F(\omega_k^ix)&=\exp\sum_{i=0}^{k-1}G(\omega_k^ix)\\&=\exp\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j\ge0}g_jx^j\omega_k^{ij}\\&=\exp\sum_{j\ge0}g_jx^j\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ij}\\&=\exp\left(k\sum_{k\mid j}g_jx^j\right)\end{aligned} \]

于是可以 \(O(\mathsf M(nk))\) 解决。

时间复杂度 \(O(\mathsf M(nk)\log_k n)\)。

\(F(x)=A(x)F(x^2)+B(x)\)

让我们观察满足 \(F(x)=A(x)F(x^2)+B(x)\) 的形式幂级数 \(F(x)\)，其中 \(A(x),B(x)\) 是度数不超过 \(d\) 的多项式。

如果想求 \([x^n]\dfrac{P(x)F(x)}{Q(x)}\)，可以这样操作：

\[\begin{aligned}{}[x^n]\dfrac{P(x)F(x)}{Q(x)}&=[x^n]\dfrac{P(x)(A(x)F(x^2)+B(x))}{Q(x)}\\&=[x^n]\dfrac{P(x)A(x)F(x^2)}{Q(x)}+[x^n]\dfrac{P(x)B(x)}{Q(x)}\\&=[x^n]\dfrac{P(x)A(x)Q(-x)F(x^2)}{Q(x)Q(-x)}+[x^n]\dfrac{P(x)B(x)}{Q(x)}\\&=[x^n]\dfrac{(U(x^2)+xV(x^2))F(x^2)}{W(x^2)}+[x^n]\dfrac{P(x)B(x)}{Q(x)}\end{aligned} \]

其中 \(P(x)A(x)Q(-x)=U(x^2)+xV(x^2),\,Q(x)Q(-x)=W(x^2)\)。接下来学习 Bostan–Mori 算法就可以了，时间复杂度 \(O(\mathsf M(d)\log^2n)\)。

如果是 \(F(x)=A(x)F(x^k)+B(x)\) 呢？
换用 \(k\)-radix Bostan–Mori 算法的方法。

如果 \(A(x),B(x)\) 是有理分式呢？
在这里用类似的方法或许会导致时间复杂度变成 \(O(\mathsf M(d\log n)\log^2n)\)（也不是不行）。

如果想求 \([x^n]\dfrac{P(x)F(x)^2}{Q(x)}\) 或者 \(F(x)\) 的更多次方？
当然这个方法也能做，不过可能就有点偏离 practical 复杂度范围了。

试看看！习题 1.3

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