何意味

生活中总有一些瞬间，它们不承载重大意义，不解决实际问题，甚至难以被语言精确捕捉——只是心头悄然一动，如微风过水，如尘埃落定前的片刻悬停。这样的刹那，无人赠予，也无法刻意寻得，却在日复一日的庸常里，留下几乎不见却擦抹不掉的印痕。有人把这称为“何意味时刻”。

你的“何意味时刻”又在哪里……（持续连载中）

（本段不是谜题的一部分）由于此博客为魔怔博客，过程可能不易理解，如果想理解可以评论区询问 .deleted

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一 \(f(x)=\frac12\mathrm e^{2x+1}-x^2+\frac74\)，\(f(x_1)+f(x_2)=4\)，求证：\(x_1+x_2<1\) .

sol

\[\begin{aligned}0&=f(x_1)+f(x_2)-4\\&=\tfrac12\mathrm e^{2x_1+1}-x_1^2+\tfrac12\mathrm e^{2x_2+1}-x_2^2-\tfrac12\\&>\tfrac12(1+(2x_1+1)+\tfrac12(2x_1+1)^2+\tfrac16(2x_1+1)^3)-x_1^2\\&\quad+\tfrac12(1+(2x_2+1)+\tfrac12(2x_2+1)^2+\tfrac16(2x_2+1)^3)-x_2^2-\tfrac12\\&=(2x_1+1)+\tfrac16(2x_1+1)^3+(2x_2+1)+\tfrac16(2x_2+1)^3\end{aligned} \]

二 \(a>0,\,b\in\mathbb R\)，\(\forall x>0,\,(x-a)\ln x\ge b-a\)，\(\operatorname{maximize}\;b+2a\) .

sol

\[\begin{aligned}\mathrm{ans}&=\max_{a>0}\min_x((x-a)\ln x+3a)\\&=\min_x\max_{a>0}((3-\ln x)a+x\ln x)\\&=\min_{x\ge\mathrm e^3}x\ln x\\&=3\mathrm e^3\end{aligned} \]

三 \(\displaystyle f(n)=\max_{\theta}\sum_{i=1}^n\dfrac{\sin i\theta}i\)，求证：\(1\le f(n)\le\dfrac{2n}{n+1}\quad(n\ge1)\) .

sol

令 \(\displaystyle g_n(\theta)=\sum_{i=1}^n\dfrac{\sin i\theta}i\)，则 \(\displaystyle g_n'(x)=\sum_{i=1}^n\cos ix=\dfrac{\sin\frac{nx}2\cos\frac{(n+1)x}2}{\sin\frac x2}\)，所以 \(f(n)=g_n\left(\dfrac\pi{n+1}\right)\) .

下界：采用 \(x\in[0,\frac\pi2]\) 时 \(\sin x\ge\frac2\pi x\) .

上界：Cauchy 不等式或者切线放缩 .

四  给定 \(r\in\mathbb N^+\)，求最大的 \(C\) 满足存在一个公比为 \(r\) 的等比数列使得每项到它最接近整数的距离都不小于 \(C\) .

sol

当 \(r\) 是偶数时：\(\frac 12\)；当 \(r\) 是奇数时：\(\frac r{2(r+1)}\) .

证明太难了先不会捉

五  证明：对于任意正整数 \(n\ge 3\)，取 \(n\) 的（乱序）正因子序列 \(d_{1\dots m}\)，\(d_1,d_1+d_2,\cdots,d_{m-1}+d_m\) 不是任何正整数的正因子序列 .

sol

设 \(d_1,d_1+d_2,\cdots,d_{m-1}+d_m\) 是 \(k\) 的正因子序列 .

1. 实验验证 \(n\) 足够小的时候不成立 .
2. 如果 \(n\) 是素数显然不成立 .
3. 取 \(p=\operatorname{lpf}(n)\)，如果 \(p^2\mid n\) 可以通过抽屉原理导出 \(p\mid k\) 矛盾！
4. 取次大因子 \(q\)，通过抽屉原理依然导出矛盾 .

总之全部矛盾，所以假设不成立，原命题得证 .