2026.4.19 闲话

回忆 Saalschütz 恒等式：

\[\sum_k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+r-s}{n-k}\dbinom{r+k}{m+n}=\dbinom rm\dbinom sn \]

伞

证明：

由于某些原因，不妨令 \(r<0\)，剩余的部分可以通过多项式推理法补齐。

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+r-s}{n-k}\dbinom{r+k}{m+n}\\&=\sum_k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+r-s}{n-k}(-1)^{m+n}\dbinom{m+n-r-k+1}{m+n}\\&=(-1)^{m+n}\sum_k\dbinom{m-r+s}k[x^{n-k}](1+x)^{n+r-s}[y^{m+n}](1+y)^{m+n-r-k+1}\\&=(-1)^{n+m}[x^ny^{m+n}](1+x)^{n+r-s}(1+y)^{m+n-r+1}\sum_k\dbinom{m-r+s}kx^k(1+y)^{-k}\\&=(-1)^{n+m}(1+)^{n+r-s}(1+y)^{m+n-r+1}\left(1+\dfrac x{1+y}\right)^{m-r+s}\\&=(-1)^{n+m}[x^ny^{m+n}](1+x)^{n+r-s}(1+y)^{n-s+1}(1+x+y)^{m-r+s}\\&=(-1)^{n+m}[x^{-n}y^{-m-n}](1+x^{-1})^{n+r-s}(1+y^{-1})^{n-s+1}(1+x^{-1}+y^{-1})^{m-r+s}\\&=(-1)^{n+m}[x^my^{1-r}](1+x)^{n+m}(1+y)^{n+m-r+1}\left(1-\dfrac1{(1+x)(1+y)}\right)^{m-r+s}\\&=(-1)^{n+m}[x^my^{1-r}]\sum_k(-1)^k\dbinom{m-r+s}k(1+x)^{n+m-k}(1+y)^{n+m-r+1-k}\\&=(-1)^{n+m}\sum_k(-1)^k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+m-k}m\dbinom{n+m-r+1-k}{1-r}\\&=(-1)^{n+m}\sum_k(-1)^k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+m-k}{n-k}\dbinom{n+m-r+1-k}{n+m-k}\\&=(-1)^{n+m}\sum_k(-1)^k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+m-r+1-k}{n-k}\dbinom{m-r+1}m\\&=(-1)^{n+m}\dbinom{m-r+1}m\sum_k(-1)^k\dbinom{m-r+s}k(-1)^{n-k}\dbinom{r-m}{n-k}\\&=(-1)^m\dbinom{m-r+1}m\dbinom sr\\&=\dbinom rm\dbinom sn\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned} \]

末法代数推导……

这可能提示我们看起来 trivial 的对称性、三项式系数之类在 GF 的视角并不是那么显然。

关于一些其他事情，可以在 From Now On 找到。